

Bài 8 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)
Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a.
LG a
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải chi tiết:
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Ta có ΔABC=ΔBAD(c.c.c) ⇒CI=DI(2 trung tuyến tương ứng)
ΔCID cân tại I nên IJ⊥CD.
Do ∆CAD = ∆DBC (c.c.c) nên AJ = BJ hay tam giác ABJ cân tại J.
Lại có CJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.
⇒ IJ ⊥ AB
Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.
Vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau, do đó OB = OC.
Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm R = OA.
Ta có: OA2=OI2+AI2 =IJ24+AB24 =IJ2+c24
Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên CI2=2a2+2b2−c24
Suy ra IJ2=CI2−CJ2 =2a2+2b2−c24−c24=a2+b2−c22
Như vậy R2=OA2=a2+b2+c28 và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
S=4πR2=π2(a2+b2+c2)
LG b
Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)
Lời giải chi tiết:
Các mặt của hình tứ diện là các tam giác bằng nhau (đều có ba cạnh bằng a, b, c) nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính r bằng nhau.
Các đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu tâm (O;R) nên khoảng cách từ tâm O tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó bằng nhau và bằng h=√R2−r2.
Vậy mặt cầu tâm O, bán kính h là mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
(OA = R, OH = h, HA = r)
Loigiaihay.com


- Bài 9 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 10 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 7 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
- Bài 5 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |