Bài 78 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao


Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

LG a

\(f(x) = |x + {1 \over x}|\)

Phương pháp giải:

Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Lời giải chi tiết:

Vì với mọi x ≠ 0; x và \({1 \over x}\)  cùng dấu nên:

\(f(x) = |x + {1 \over x}| = |x| + {1 \over {|x|}} \)

Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương \(|x|, {1 \over {|x|}}\) ta có:

\(|x| + {1 \over {|x|}}  \ge 2\sqrt {|x|.{1 \over {|x|}}}  = 2\) với mọi x ≠ 0 hay \(f(x)\ge 2\) với mọi x ≠ 0.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(|x| = {1 \over {|x|}} \Leftrightarrow x^2 = 1\) \(\Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2.

LG b

\(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Phương pháp giải:

Thu gọn g(x) rồi áp dụng BĐT Cô - si.

Lời giải chi tiết:

Với mọi x ∈ R, ta có:

\( g(x) = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)
\(= \sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Áp dụng BĐT cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} , {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\) ta có:

\(\sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .{1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}}=2\)

\(g(x) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.