Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Bình chọn:
2.7 trên 6 phiếu

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0          

b) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - 2\sqrt {ab} + b) + (b - 2\sqrt {bc} + c) \cr&\;\;\;\;\;\;+ (c - 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\sqrt a - \sqrt b )^2} + {(\sqrt b - \sqrt c )^2} + {(\sqrt c - \sqrt a )^2} \ge 0 \cr} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Ta có:

a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a2b2 – 2a2bc+ a2c2) + (a2c2 – 2c2ab +b2c2) +(a2b2 – 2b2ac +b2c2) ≥ 0

⇔  (ab – ac)2 + (ac – bc)2 + (ab – bc)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0

Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu