Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh các bất đẳng thức

LG a

$|a + b| < |1 + ab|$ với $|a| < 1; |b| < 1$

Phương pháp giải:

Biens đổi tương đương, bình phương hai vế bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$|a + b| < |1 + ab|$ $⇔ (a + b)^2 < (1 + ab)^2$ $\Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} < 1 + 2ab + {a^2}{b^2}$

$⇔ a^2b^2 – a^2 – b^2 + 1 > 0$ $⇔ a^2(b^2 – 1) – (b^2 – 1) > 0$

$⇔ (a^2 – 1)(b^2 – 1) > 0$

Vì

$\begin{array}{l} \left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} < 1\\ {b^2} < 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 1 < 0\\ {b^2} - 1 < 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{b^2} - 1} \right) > 0 \end{array}$

Vậy với $|a| < 1; |b| < 1$ thì $|a + b| < |1 + ab|$

LG b

$\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}$

với mọi n ∈ N*

Phương pháp giải:

Đánh giá so sánh từng số hạng của tổng với 1/2n.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;$ ${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}$ $= \dfrac{1}{{2n}}$

Do đó:

$\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}}$ $\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge$ $n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}$

Vậy ta được điều phải chứng minh.

LG c

$\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}$ với mọi $a ≥ 0; b ≥ 0$ . Khi nào có đẳng thức?

Phương pháp giải:

Tách vế trái thành tổng, đánh giá từng số hạng của tổng.

Lời giải chi tiết:

$\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}$ $= \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}$

Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên

$\left\{ \begin{array}{l} 1 + a + b \ge 1 + a\\ 1 + a + b \ge 1 + b \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}}\\ \dfrac{b}{{1 + a + b}} \le \dfrac{b}{{1 + b}} \end{array} \right.$

Suy ra $\dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}$ $\le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}$

Vậy ta có đpcm.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = 0$ hoặc $b = 0$ hoặc $a = b = 0$ .

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 13 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài 78 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
Bài 79 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.
Bài 80 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị nào của m, bất phương trình:
Bài 81 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
Bài 82 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
Bài 83 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:
Bài 84 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình sau
Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
Bài 86 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm
Bài 87 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Trong mỗi câu sau đây, có bốn khẳng định (A), (B), (C) và (D) , trong đó chỉ có một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng trong mỗi câu đó.
Bài 88 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao
Tập nghiệm của bất phương trình là:
Bài 89 trang 157 SGK Đại số 10 nâng cao
Nghiệm của phương trình sau là:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.