Bài 7 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao


a) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. b) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng bằng a. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).

\(SH\) là đường cao của hình chóp đều \(S.ABC\) nên \(SH\) là trục của tam giác \(ABC\).

Trong mặt phẳng \((SAH)\) gọi \(O\) là giao điểm của đường trung trực \(SA\) với \(SH\) thì \(O\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là \(R = SO\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SA\) thì tứ giác \(AHOI\) nội tiếp nên:

\(SO.SH = SI.SA\) \( \Rightarrow SO = {{S{A^2}} \over {2SH}} = {{S{A^2}} \over {2h}}\)

Mà \(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2} \) \( = {h^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{{a^2} + 3{h^2}} \over 3}\)

Từ đó suy ra \(R = SO = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}\)

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là \(V = {{\pi {{\left( {{a^2} + 3{h^2}} \right)}^3}} \over {162{h^3}}}\)

LG b

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\). Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SB, SC, SD\). Chứng minh rằng các điểm \(A, B, C, D, A’, B’, C’, D’\) cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(SH\) là đường cao của hình chóp đều \(S.ABCD\) thì \(H\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(SH\) đi qua tâm \(H’\) của hình vuông \(A’B’C’D’\).

Mọi điểm nằm trên \(SH\) đều cách đều bốn điểm \(A’, B’, C’, D’\).

Trên đường thẳng \(SH\), ta xác định điểm \(O\) sao cho \(OA = OA’\) thì \(O\) cách đều tám điểm \(A, B, C, D, A’, B’, C’, D’\) tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm \(O\), bán kính \(R = OA\).

Điểm \(O\) là giao điểm của đường thẳng \(SH\) và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AA’\).

Ta có: \(2{a^2} = A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\) nên tam giác vuông cân tại S suy ra \(\widehat {ASO} = {45^0}\) do đó ASIO vuông cân tại I và \(IS = IO = {{3a} \over 4}\).

Từ đó suy ra \(R = OA = \sqrt {O{I^2} + I{A^2}} \) \( = \sqrt {{{9{a^2}} \over {16}} + {{{a^2}} \over {16}}}  = {{a\sqrt {10} } \over 4}\)

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: \(V = {4 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt {10} } \over 4}} \right)^3} = {{5\pi {a^3}\sqrt {10} } \over {24}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 6 phiếu
  • Bài 8 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt của hình tứ diện (nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện)

  • Bài 9 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng các điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thẳng hàng.

  • Bài 10 trang 46 SGK Hình học 12 Nâng cao

    a) Chứng minh rằng một hình trụ lăng trụ có mặt cầu cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất?

  • Bài 6 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

    a) Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. b) Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD

  • Bài 5 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Nếu hình đa diện nội tiếp mặt cầu thì mọi mặt của nó là đa giác nội tiếp đường tròn. b) Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì đa diện đó nội tiếp mặt cầu.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí