Bài 54 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp và \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left[ {\left( {3x - 2} \right){{\ln }^2}x} \right]'\\
= \left( {3x - 2} \right)'{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right)\left[ {{{\ln }^2}x} \right]'\\
= 3{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right).2\ln x.\left( {\ln x} \right)'\\
= 3{\ln ^2}x + 2\left( {3x - 2} \right)\ln x.\frac{1}{x}\\
= 3{\ln ^2}x + \frac{{2\left( {3x - 2} \right)\ln x}}{x}
\end{array}\)

LG b

\(y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}} \right)'\\
= \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} \left( {\ln {x^2}} \right)'\\
= \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}
\end{array}\)

LG c

\(y = x.\ln {1 \over {1 + x}}\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{array}{l}
y = x\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
= x\left[ {\ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)} \right]\\
= x\left[ {0 - \ln \left( {1 + x} \right)} \right]\\
= - x\ln \left( {1 + x} \right)\\
y' = \left[ { - x\ln \left( {1 + x} \right)} \right]'\\
= - \left[ {\left( x \right)'\ln \left( {1 + x} \right) + x\left( {\ln \left( {1 + x} \right)} \right)'} \right]\\
= - \left[ {1.\ln \left( {1 + x} \right) + x.\frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}} \right]\\
= - \left[ {\ln \left( {1 + x} \right) + x.\frac{1}{{1 + x}}} \right]\\
= - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {x\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right)'\\
= \left( x \right)'\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\left( {\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right)'\\
= 1.\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{ - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} - x.\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

LG d

\(y = {{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}} \right)'\\
= \frac{{\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]'.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right).\left( x \right)'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right).1}}{{{x^2}}}\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\\
= \frac{2}{{{x^2} + 1}} - \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài