Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 5. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 54 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp và \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left[ {\left( {3x - 2} \right){{\ln }^2}x} \right]'\\
= \left( {3x - 2} \right)'{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right)\left[ {{{\ln }^2}x} \right]'\\
= 3{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right).2\ln x.\left( {\ln x} \right)'\\
= 3{\ln ^2}x + 2\left( {3x - 2} \right)\ln x.\frac{1}{x}\\
= 3{\ln ^2}x + \frac{{2\left( {3x - 2} \right)\ln x}}{x}
\end{array}\)

LG b

\(y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}} \right)'\\
= \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} \left( {\ln {x^2}} \right)'\\
= \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}
\end{array}\)

LG c

\(y = x.\ln {1 \over {1 + x}}\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{array}{l}
y = x\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
= x\left[ {\ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)} \right]\\
= x\left[ {0 - \ln \left( {1 + x} \right)} \right]\\
= - x\ln \left( {1 + x} \right)\\
y' = \left[ { - x\ln \left( {1 + x} \right)} \right]'\\
= - \left[ {\left( x \right)'\ln \left( {1 + x} \right) + x\left( {\ln \left( {1 + x} \right)} \right)'} \right]\\
= - \left[ {1.\ln \left( {1 + x} \right) + x.\frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}} \right]\\
= - \left[ {\ln \left( {1 + x} \right) + x.\frac{1}{{1 + x}}} \right]\\
= - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {x\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right)'\\
= \left( x \right)'\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\left( {\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right)'\\
= 1.\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{ - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} - x.\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

LG d

\(y = {{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}} \right)'\\
= \frac{{\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]'.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right).\left( x \right)'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right).1}}{{{x^2}}}\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\\
= \frac{2}{{{x^2} + 1}} - \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store