Bài 33 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Cho đường cong (C) có phương trình , trong đó , và điểm thỏa mãn: . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (C).

Đề bài

Cho đường cong \((C)\) có phương trình \(y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\), trong đó \(a \ne 0\), \(c \ne 0\) và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong (\(C)\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\) \( \Leftrightarrow y = ax - a{x_0} + a{x_0} + b + \frac{c}{{x - {x_0}}}\) \( \Leftrightarrow y = a\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} + {c \over {x - {x_o}}}\)
\( \Leftrightarrow y - {y_o} = a\left( {x - {x_o}} \right) + {c \over {x - {x_o}}}\)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
x - {x_o} = X \hfill \cr 
y - {y_o} = Y \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = X + {x_o} \hfill \cr 
y = Y + {y_o} \hfill \cr} \right.\)

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\).

Khi đó \(Y = aX + {c \over X}\) là phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). 

\(Y = aX + {c \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \(I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)\) làm tâm đối xứng.

Cách trình bày khác:

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI với I(xo,yo) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + a{x_0} + b\end{array} \right.\)

Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là:

\(Y + a{x_0} + b\)\( = a\left( {X + {x_0}} \right) + b + \frac{c}{{X + {x_0} - {x_0}}}\)

\( \Leftrightarrow Y + a{x_0} + b\) \( = aX + a{x_0} + b + \frac{c}{X}\)

\( \Leftrightarrow Y = aX + \frac{c}{X}\)

Do hàm số \(Y = aX + \frac{c}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ tâm I làm tâm đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \(I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)\) làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài