Bài 14 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao


Chứng minh rằng : a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ; b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng :

LG a

Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ;

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, CDD’C’, BCC’B’, ADD’A’ của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Ta có, M là trung điểm AC và P là trung điểm AB'.

Do đó MP là đường trung bình của tam giác ACB' nên \(MP = \frac{1}{2}B'C = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự MR=MQ=MS=NP=NR=NQ=NS\(= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Khi đó tám tam giác MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh có \(4\) cạnh.

Vậy đó là khối tám mặt đều.

LG b

Tâm các mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.

Lời giải chi tiết:

Xét khối tám mặt đều ABCDEF. Gọi O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8 lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Ta có: O1,O2 là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:

\(\frac{{E{O_1}}}{{EM}} = \frac{{E{O_2}}}{{EN}} = \frac{2}{3}\)

=> O1 O2 // MN\( \Rightarrow \frac{{{O_1}{O_2}}}{{MN}} = \frac{2}{3}\)

Mà \(MN//AC,MN = \frac{1}{2}AC\)

\( \Rightarrow {O_1}{O_2} = \frac{2}{3}MN = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{3}AC\) và \({O_1}{O_2}//AC\)

Tương tự \({O_3}{O_4}//AC;{O_3}{O_4} = \frac{1}{3}AC\)

=> O1 O2 // O3 O4 và O1 O2 = O3 O4

=> Tứ giác O1 O2 O3 O4 là hình bình hành.

Lại có: O1 O4 // BD, O1 O4=BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng AC = DB, AC ⊥ BD

=> O1 O2=O1 O4, O1 O2 ⊥ O1 O4 nên tứ giác O1 O2 O3 O4 là hình vuông.

- Tương tự ta có: O1 O2 O6 O5, O2 O3 O7 O6, O3 O4O8 O7, O4 O1 O5 O8, O5 O6 O7 O8 là các hình vuông.

Vậy O1, O2,O3,O4,O5,O6, O7, O8 là các đỉnh của một khối lập phương.

Chú ý: Giả sử cạnh của khối tám mặt đều là \(a\) thì cạnh của khối lập phương \(O_1O_2O_3O_4O_5O_6O_7O_8\) là \({2 \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu
  • Bài 13 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều : a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ; b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau ; c) Ba đường chéo bằng nhau.

  • Bài 12 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều. b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

  • Bài 11 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thảng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài