Bài 12 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều. b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:

LG a

Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, BDA, ABC\) của tứ diện đều \(ABCD\) có trọng tâm \(G\).
Ta có \(\overrightarrow {GA'}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {GA} \)

\(\overrightarrow {GB'}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {GB} \)

\(\overrightarrow {GC'}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {GC} \)

\(\overrightarrow {GD'}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {GD} \)
Gọi \({V_{\left( {G;{{ - 1} \over 3}} \right)}}\) là phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \( - {1 \over 3}\) ta có \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là ảnh của \(A, B, C, D\) qua phép vị tự \(V\).

Từ đó suy ra phép vị tự tâm G tỉ số \(- {1 \over 3}\) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'.

Do đó nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì \(A’B’C’D’\) cũng là tứ diện đều.

LG b

Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, CD, AC, BD, AD, BC\) của khối tứ diện đều \(ABCD\).

Xét tam giác ABC có M, P, S lần lượt là trung điểm AB, AC, BC nên MP, PS, SM là đường trung bình của tam giác

Suy ra \(MP = \frac{1}{2}BC\), \(PS = \frac{1}{2}AB,SM = \frac{1}{2}AC\).

Mà tứ diện ABCD đều nên AB=BC=CA nên MP=PS=SM hay tma giác MPS đều.

Tương tự ta có các tam giác SPN, SQN, SQM, RPN, RNQ, RQM, RPM đều.

Khi đó, tám tam giác đều đó làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh.

Vậy đó là khối tám mặt đều.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu
  • Bài 13 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều : a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ; b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau ; c) Ba đường chéo bằng nhau.

  • Bài 14 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng : a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ; b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.

  • Bài 11 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thảng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài