Bài 11 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết

a) CMR "Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó"

Giả sử \({V_{(O,k)}}\) là phép vị tự tâm O tỉ số \(k\) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(a’\).

Lấy \(M,N \in a\) và \({V_{(O,k)}}\left( M \right) = M';\) \({V_{(O,k)}}\left( N \right) = N'\) thì \(M',N' \in a'\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - k\overrightarrow {OM} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}
\end{array}\)

\(  \Rightarrow \overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {M'N'} \)

+) Nếu k=1 và O ∈ a thì \(\overrightarrow {OM'}  = \overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON'}  = \overrightarrow {ON} \) nên M trùng M', N trùng N' hay a trùng a'.

+) Nếu \(k\ne 1\) và O ∉ a thì M'N'//MN nên a'//a.

Do đó hai đường thẳng \(a\) và \(a’\) song song hoặc trùng nhau.
b) CMR "Phép vị tự biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó"

Giả sử phép vị tự \({V_{(O,k)}}\) biến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) thành mp \(\left( {\alpha '} \right)\).

- Nếu O (α) thì V(O,k) biến A (α) thành A’ sao cho \(\overrightarrow {OA'}  = k\overrightarrow {OA} \).

=> A' OA hay A' mp(α) suy ra mp(α') = mp(α).

- Nếu k =1 thì V(O,1)(A) = A’ hay \(\overrightarrow {OA'}  = \overrightarrow {OA} \)  A ≡ A'

Vậy qua V(0,k) biến mp (α) thành mp(α') = mp(α).

- Nếu O mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau tại I.

Qua phép vị tự tâm O tỉ số k :

+ Biến hai đường thẳng a, b thành 2 đường thẳng a’, b’ song song hoặc trùng với a,b

+ Biến giao điểm I thành điểm I’ là giao điểm của hai đường thẳng a’ và b’.

+ Biến mp (α) thành mp(α’) chứa hai đường thẳng a’và b’.

Suy ra, mp(α) // mp (α’).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
  • Bài 12 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều. b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

  • Bài 13 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều : a) Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ; b) Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau ; c) Ba đường chéo bằng nhau.

  • Bài 14 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng : a) Tâm các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối tám mặt đều ; b) Tâm cảc mặt của một khối tám mặt đều là các đỉnh của một khối lập phương.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài