Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số

Đề bài

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Lời giải chi tiết

Với mọi x ≠ 1, ta có : \(y' =  - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\) ) là : \(y =  - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có

hoành độ xA thỏa mãn : \({{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\) 

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ yB là :

\({y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \)

Suy ra : \({y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} =  - 4.\) Vậy điểm phải tìm Mo có tọa độ là \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)  

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài