Câu 16 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho 

a.  \(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)

b.  \(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)

LG a

\(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có :

*  \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \) \(\Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)

Vì \(k \in Z\) nên \( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\)

*  \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)

Vì \(k \in Z\) nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là :

\(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)

LG b

\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)

Lời giải chi tiết:

\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 5 = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\)

Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất :

\(\eqalign{
& - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \cr&\Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr 
& \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr 
& \text{Vì }\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k \cr&< {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr 
& \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr} \)

Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\).

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\)

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :

\( - \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \)

\(\Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}\\
\Rightarrow - 1,2 < k < - 0,2\\
\Rightarrow k = - 1
\end{array}\)

Vậy \(k = -1\)

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\)

Vậy : \(x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài