Bài 9 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.

Lời giải chi tiết

* Phép tịnh tiến

 

Giả sử \({T_{\overrightarrow v }}\) là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)

\(\eqalign{
& {T_{\overrightarrow v }}:\,M \to M' \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,N \to N' \cr} \)

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {NN'}  = \overrightarrow v\) nên MM'N'N là hình bình hành

\(  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'}  \Rightarrow MN = M'N'\)
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
* Phép đối xứng trục

Giả sử \({\tilde N_d}\) là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\)
Giả sử

\({{\tilde N}_d}:M \to M'\)

\(N \to N'\)

Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(MM’\) và \(NN’\).
Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'}\cr & = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) \cr & + \left( {\overrightarrow {M'H} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right) \cr & = \left( {\overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {M'H} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN}  + \overrightarrow {KN'} } \right) \cr & + \left( {\overrightarrow {HK}  + \overrightarrow {HK} } \right) \cr &  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {HK} \cr &= 2\overrightarrow {HK} \cr 
& \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'}\cr & = (\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} )- ( \overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} )\cr & = \left( {\overrightarrow {HN}  - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'}  - \overrightarrow {HM} } \right)\cr &= \overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} \cr} \)

Vì \(\overrightarrow {MM'}  \bot \overrightarrow {HK} \) và \(\overrightarrow {N'N}  \bot  \overrightarrow {HK} \) nên

\(\eqalign{
& {\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} \cr &= \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} } \right) \cr &= 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} } \right) \cr &= 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {N'N}  + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'}  \cr &= 2.0 + 2.0 = 0 \cr 
& \Rightarrow M{N^2} = M'N{'^2} \Rightarrow MN = M'N' \cr} \)

Vậy phép đối xứng qua \(d\) là phép dời hình.

Cách khác:

Giả sử phép đối xứng qua đường thẳng d biến M thành M’, N thành N’

Gọi (P) là mặt phẳng chứa NM’ và (P) // MM’

\({M_1},{M_1}'\) lần lượt là hình chiếu của M, M’ trên (P); O = ∩(P).

Ta có d ⊥ (P) nên O đồng thời là trung điểm của \({M_1}{M_1}'\) và NN'.

Vậy phép đối xứng tâm O biến \(M_1\) thành \(M_1'\), N thành N’ nên \({M_1},{M_1}'\) nên \(M_1 N=M_1'N'\).

Mặt khác \(M_1 N,M_1'N'\) lần lượt là hình chiếu của MN, M’N’ trên (P), MM’ // (P) nên MN = M’N’.

Vậy phép đối xứng qua đường thẳng là phép dời hình.

* Phép đối xứng tâm
Nếu phép đối xứng qua tâm \(O\) biến hai điểm \(M, N\) lần lượt thành hai điểm \(M’, N’\) thì \(\overrightarrow {OM'}  =  - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'}  =  - \overrightarrow {ON} \)
suy ra \(\overrightarrow {M'N'}  = \overrightarrow {ON'}  - \overrightarrow {OM'}  \) \(  =  - \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {NM}  \) \(\Rightarrow M'N' = MN\)
Vậy phép đối xứng tâm \(O\) là một phép dời hình.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu
  • Bài 10 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng : a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến ; b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.

  • Bài 8 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng : a) Các hình chóp A.A'B'C'D' và C.ABCD bằng nhau ; b) Các hình lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.

  • Bài 7 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây : a) Hình chóp tứ giác đều ; b) Hình chóp cụt tam giác đều ; c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.

  • Bài 6 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thắng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a’. Trong trường hợp nào thì : a) a trùng với a’ ; b) a song song với a’; c) a cắt a'; d) a và a' chéo nhau ?

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài