Bài 7 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao


Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây : a) Hình chóp tứ giác đều ; b) Hình chóp cụt tam giác đều ; c) Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây :

LG a

Hình chóp tứ giác đều ;

Lời giải chi tiết:

Các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là các mặt phẳng:

- Mp\((SAC)\)

- Mp\((SBD)\)

- Mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\).

- Mặt phẳng trung trực của đoạn \(AD\).

Chú ý:

Chứng minh cụ thể như sau:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD

- Dễ thấy (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD nên phép đối xứng qua (SAC) biến các đỉnh S, A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh S, A, D, C, B hay biến hình chóp S.ABCD thành chính nó. Vậy (SAC) là một mặt phẳng đối xứng của hình chóp S.ABCD.

Tương tự (SBD) cũng là một mp đối xứng của hình chóp S.ABCD .

- Lại có, mặt phẳng trung trực của cạnh AB đồng thời là mặt phẳng trung trực của cạnh CD và chứa S nên đó là một mặt đối xứng của hình chóp S.ABCD. tương tự mặt phẳng trung trực của AD cũng là một mặt phẳng đối xứng của hình chóp S.ABCD.

- Kết luận: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có 4 mặt phẳng đối xứng là (SAC), (SBD) , mặt phẳng trung trực của cạnh AD và AD.

LG b

Hình chóp cụt tam giác đều ;

Lời giải chi tiết:

Hình chóp cụt tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \(AB, BC, CA\).

Chứng minh:

Xét hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’

Gọi S là điểm đồng quy của AA’, BB’, CC’, M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Ta có (SAM) là mặt phẳng trung trực của BC, cũng là mặt phẳng trung trực của B’C’.

Mặt khác, A’ ∈ SA => A’ ∈ mp (SAM). Vậy phép đôi xứng qua mp(SAM) biến các đỉnh A, B, C, A’, B’, C’ lần lượt thành A, C; B, A’, C’, B’ do đó biến hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ thành chính nó hay (SAM) là một mp đối xứng là (SAM), (SBN), (SCP).

Tương tự các mặt phẳng là (SBN), (SCP) cũng là mặt phẳng đối xứng.

LG c

Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) (mà không có mặt nào là hình vuông) có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \(AB, AD, AA’\).

Chứng minh:

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ mà không có mặt nào là hình vuông.

- Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của cạnh AB thì (P) cũng là mặt phẳng trung trực của các cạnh CD, D’C’, A’B’ nếu cho phép đối xứng qua (P) biến A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ lần lượt thành B, A, D, C, B’, A’, D’, C’ hay phép đối xứng qua (P) biến hình hộp của hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ thành chính nó. Vậy (P) là một mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật.

Tương tự, mặt phẳng trung trực của các cạnh AA’, AD cũng là các mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

Kết luận: hình hộp chữ nhật mà không có mặt phẳng nào là hình vuông có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh cùng xuất phát tại một đỉnh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
  • Bài 8 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng : a) Các hình chóp A.A'B'C'D' và C.ABCD bằng nhau ; b) Các hình lăng trụ ABC.A'B'C' và AA'D'.BB'C' bằng nhau.

  • Bài 9 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.

  • Bài 10 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Chứng minh rằng : a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến ; b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.

  • Bài 6 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thắng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a’. Trong trường hợp nào thì : a) a trùng với a’ ; b) a song song với a’; c) a cắt a'; d) a và a' chéo nhau ?

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài