Bài 40 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Đề bài

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các đường tiệm cận của Hypebol \(y = \pm \frac{b}{a}x\)

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) là:

\(\frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Phương trình tiệm cận của (H) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \Leftrightarrow bx - ay = 0\)

\({d_2}:y = - {b \over a}x \Leftrightarrow bx + ay = 0\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (H)\) ta có: \({{x_0^2} \over {{a^2}}} - {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2}\)

Ta có: \(d\left( {M,{d_1}} \right).d\left( {M,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} - a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(= {{|{b^2}x_0^2 - {a^2}y_0^2|} \over {{a^2} + {b^2}}}\) \( = {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\) không đổi

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 11 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng:
Bài 39 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau
Bài 38 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Chứng minh rằng:
Bài 37 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau
Bài 36 trang 108 SGK Hình học 10 Nâng cao
Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?