Bài 28 Trang 167 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

LG a

Đồ thị các hàm số \(y = {x^2} - 4\), \(y =  - {x^2} - 2x\) và đường thẳng \(x =  - 3,x =  - 2;\)

Phương pháp giải:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),\) \(x = a,x = b\).

+) B1: Tìm nghiệm \(a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\) của phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

+) B2: Tính diện tích theo công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\( = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + ... + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\( = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)\( + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \( + ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) \( + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Tính diện tích theo công thức

Ta có: \({x^2} - 4 =  - {x^2} - 2x\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Có \( - 3 <  - 2 < 1\) nên \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)} \right|dx} \) \( = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|dx} \) \( = \left| {\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\left( {2.\frac{{{x^3}}}{3} + 2.\frac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)_{ - 3}^{ - 2}} \right|\) \( = \left| {\frac{{20}}{3} - 3} \right| = \frac{{11}}{3}\)

Cách 2: Xét dấu

Ta có

 

Ta thấy, khi \( - 3 \le x \le  - 2\) thì \(2{x^2} + 2x - 4 \ge 0\)

\( \Rightarrow \left| {2{x^2} + 2x - 4} \right| = 2{x^2} + 2x - 4\).

Do đó,

\(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)} \right|} dx \) \(= \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)} dx\)

\( = 2\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left( {{x^2} + x - 2} \right)} dx\)

\( = 2\left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 2} = {{11} \over 3}\)

Chú ý:

Khi việc xét dấu phức tạp ta nên làm theo cách 1 sẽ tránh được việc lập bảng xét dấu.

LG b

Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y =  - {x^2} - 2x\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} - 4 = - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)} \right|dx} \) \( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|dx} \) \( = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\left( {\dfrac{{2{x^3}}}{3} + \dfrac{{2{x^2}}}{2} - 4x} \right)_{ - 2}^1} \right|\) \( = \left| { - \dfrac{7}{3} - \dfrac{{20}}{3}} \right| = \left| { - 9} \right| = 9\)

Cách 2:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} - 4 = - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta thấy, khi \( - 2 \le x \le  1\) thì \(2{x^2} + 2x - 4 \le 0\)

\( \Rightarrow \left| {2{x^2} + 2x - 4} \right| = -2{x^2} - 2x + 4\).

Do đó,

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - 4 - \left( { - {x^2} - 2x} \right)} \right|} dx \) \(= \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|} dx\)

\( = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right)} dx \) \(= \left. {\left( { - {{2{x^3}} \over 3} - {x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\)

LG c

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 4x\), trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Ta có: \({x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Ta thấy, \( - 2 < 0 < 2 < 4\)

\( \Rightarrow S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \) \( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx}  + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \) \(+ \int\limits_2^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx}\) \( = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right|\) \(+ \left| {\int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right|\)

\( = \left| {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right)_{ - 2}^0} \right| + \left| {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right)_0^2} \right|\) \(+ \left| {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right)_2^4} \right|\) \( = \left| {0 - \left( { - 4} \right)} \right| + \left| { - 4 - 0} \right|+ \left| { 32 - (-4)} \right|\) \( = 44\)

Cách 2:

\(S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx \) \(= \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} dx - \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} dx \) \(+ \int\limits_2^4 {\left( {{x^3} - 4x} \right)} dx \) 

\( = \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right)_{ - 2}^0 - \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right)_0^2\) \( + \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right)_2^4\)

\( = 4 - \left( { - 4} \right) + 36\)

\(= 44\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài