Bài 19 trang 18 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.

Ta có $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0$$\Rightarrow  - \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow  - \left( {\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN} } \right) = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0$

và $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}$

$\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN}$

Suy ra

$\eqalign{ & 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} \cr&= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \cr  &= \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr  &  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} \cr&= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \cr  & = \overrightarrow 0 \cr}$

Do đó, $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0$ , tức là $M \equiv N$.

Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau.

Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$ và $BC$ trùng nhau, suy ra

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

Suy ra $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}$$= \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {CD}$.

Cách khác:

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ thì $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau.

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ ta chứng minh $I$ cũng là trung điểm của $BC$.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$;

$\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ nên $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}$

$\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}$    (1)

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$  (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ $I$ là trung điểm của $BC$.

b) $AD$ và $BC$ có cùng trung điểm $I$, ta chứng minh $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$.

$I$ là trung điểm của $AD$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$   $\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$

$I$ là trung điểm của $BC$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$ $\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}$    $\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$    $\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ (đpcm)

Chú ý:

Các em có thể trình bày ngắn gọn như sau:

Gọi $M,N$ là trung điểm của $AD,BC$ ta có: $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {NC}$

Do đó,

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MD} \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  - \overrightarrow {NM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {CN} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {MM}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow M \equiv N\end{array}$

Loigiaihay.com