Bài 15 trang 89 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ lần lượt có phương trình $px + y + m = 0$ và $x + py + n = 0$ thì:

$cos(\Delta ,\Delta ') = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.$

c) Trong tam giác ABC ta có

$\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).$ 

d) Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì

$cos\varphi  = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}.$

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Lời giải chi tiết

Các mệnh đề đúng là: b), c), e).

Các mệnh đề sai là: a), d).

Ta xét các mệnh đề:

* Mệnh đề a) sai. Cần sửa thành: cô sin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng giá trị tuyệt đối cô sin của góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng.

* Mệnh đề b) đúng vì:

Hai đường thẳng ∆ và ∆’ có VTPT lần lượt là: $\overrightarrow n  = \left( {p;1} \right),\overrightarrow {n'}  = \left( {1;p} \right)$

Do đó $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|$$= \dfrac{{\left| {p.1 + 1.p} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + 1} .\sqrt {1 + {p^2}} }} = \dfrac{{2\left| p \right|}}{{{p^2} + 1}}$

* Mệnh đề c) đúng theo cách xác định góc giữa hai vecto.

* Mệnh đề d sai

Góc giữa hai đường thẳng có độ lớn không vượt quá ${90^0}$.

Trong trường hợp $\widehat {BAC}$ là góc tù ta có:

Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là $\varphi  = {180^0} - \widehat {BAC}$ (1)

Áp dụng định lí cô sin trong tam giác ABC ta có:

$\cos \widehat {BAC} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$ (2)

Từ (1) và (2), kết hợp tính chất hai góc bù nhau thì cos đối nhau ta có:

$\cos \varphi  =  - \cos \widehat {BAC} =  - \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

* Mệnh đề e) đúng vì:

Ta có y = x hay x – y = 0 (*)

Thay tọa độ hai điểm đã cho vào vế trái (*) ta được:

7- 6 = 1 > 0 và – 1- 2 = -3 < 0

=> Hai điểm đã cho nằm hai phía so với đường thẳng y = x.

Loigiaihay.com