Bài 15 trang 89 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta' \) lần lượt có phương trình \(px + y + m = 0\) và \(x + py + n = 0\) thì:

\(cos(\Delta ,\Delta ') = {{2|p|} \over {{p^2} + 1}}.\)

c) Trong tam giác ABC ta có

\(\cos A = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right).\) 

d) Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì

\(cos\varphi  = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}}.\)

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Lời giải chi tiết

Các mệnh đề đúng là: b), c), e).

Các mệnh đề sai là: a), d).

Ta xét các mệnh đề:

* Mệnh đề a) sai. Cần sửa thành: cô sin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng giá trị tuyệt đối cô sin của góc giữa hai vecto chỉ phương của chúng.

* Mệnh đề b) đúng vì:

Hai đường thẳng ∆ và ∆’ có VTPT lần lượt là: \(\overrightarrow n  = \left( {p;1} \right),\overrightarrow {n'}  = \left( {1;p} \right)\)

Do đó \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\)\( = \dfrac{{\left| {p.1 + 1.p} \right|}}{{\sqrt {{p^2} + 1} .\sqrt {1 + {p^2}} }} = \dfrac{{2\left| p \right|}}{{{p^2} + 1}}\)

* Mệnh đề c) đúng theo cách xác định góc giữa hai vecto.

* Mệnh đề d sai

Góc giữa hai đường thẳng có độ lớn không vượt quá \({90^0}\).

Trong trường hợp \(\widehat {BAC}\) là góc tù ta có:

Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là \(\varphi  = {180^0} - \widehat {BAC}\) (1)

Áp dụng định lí cô sin trong tam giác ABC ta có:

\(\cos \widehat {BAC} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (2)

Từ (1) và (2), kết hợp tính chất hai góc bù nhau thì cos đối nhau ta có:

\(\cos \varphi  =  - \cos \widehat {BAC} =  - \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

* Mệnh đề e) đúng vì:

Ta có y = x hay x – y = 0 (*)

Thay tọa độ hai điểm đã cho vào vế trái (*) ta được:

7- 6 = 1 > 0 và – 1- 2 = -3 < 0

=> Hai điểm đã cho nằm hai phía so với đường thẳng y = x.

Loigiaihay.com