Đề thi THPT QG chính thức - 2021 lần 1 - mã đề 103

Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Tập xác định của hàm số \(y = {6^x}\) là \(\mathbb{R}\).

+ Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^3\).

+ Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu đỏ”

\( \Rightarrow \) Số phần tử thuận lợi của A là : \(n\left( A \right) = C_4^3\).

+ Xác suất: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \dfrac{1}{{30}}\). 

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;2} \right)\) là 1 VTPT của của mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(AB\).

Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: \(x + 2y + 2z - 2 = 0\).

Khảo sát hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) trên \(\left[ {0;3} \right]\).

+ \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = {\kern 1pt}  \pm 1\).

+ BBT:

\( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1\).

Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)

(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx}  + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\end{array}\)

Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\\3{x^2} + 2\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).

+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 2.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).

+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 3 + {C_1} = 1 + 2 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} =  - 1 + {C_2} = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 2.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 1\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 3.2 + 1 = 11\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) =  - 1 + 2.11 = 21\end{array}\)