-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 1
Đề bài
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z = 3-i$. Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên ?
-
A.
Điểm $P$
-
B.
Điểm $Q$
-
C.
Điểm $M$
-
D.
Điểm $N$
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = {x^2}\)
-
C.
\(y = {x^3} - 3x\)
-
D.
\(y = - {x^4}\)
Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}Sh\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{2}Sh\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{6}Sh\)
-
D.
\(V = Sh\)
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
B.
$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
C.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
-
D.
$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đường cong \(x = \sqrt y \), trục tung và hai đường thẳng \(y = 1,y = 4\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) được tính theo công thức:
-
A.
\(V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt y } \right|dy} \)
-
B.
\(V = \int\limits_1^4 {{y^2}dy} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_1^4 {{y^2}dy} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_1^4 {ydy} \)
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
-
A.
$f\left( 0 \right) < 5$
-
B.
$f\left( 2 \right) \geqslant 5$
-
C.
$f\left( 1 \right) = 5$
-
D.
$f\left( 0 \right) = 5$
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường \(x=\sqrt{y};\,y=-x+2,x=0\) quanh trục $Ox$ có giá trị là kết quả nào sau đây ?
-
A.
\(V=\frac{3}{2}\pi \)
-
B.
\(V=\frac{1}{3}\pi \)
-
C.
\(V=\frac{11}{6}\pi \)
-
D.
\(V=\frac{32}{15}\pi \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
-
A.
$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
-
B.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
-
C.
$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
-
D.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
-
A.
\(12({m^2})\)
-
B.
\(12\pi (c{m^3})\)
-
C.
\(12\pi (c{m^2})\)
-
D.
\(4\pi (c{m^2})\)
Cho hai hàm số \(f,\,\,g\) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
B.
$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
C.
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
-
D.
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
-
A.
nhỏ hơn
-
B.
nhỏ hơn hoặc bằng
-
C.
bằng
-
D.
lớn hơn
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:
-
A.
\(\sqrt 2 \)
-
B.
\(\sqrt 3 \)
-
C.
\(2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{5}{{\sqrt {17} }}\)
Cho ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
$m < n$
-
B.
$m > n$
-
C.
$m \le n$
-
D.
$m = n$
Cho $2$ số phức,\({z_1} = 1 + 3i,{\overline z _2} = 4 + 2i\). Tính môđun của số phức ${z_2} - 2{z_1}$
-
A.
\(2\sqrt {17} \)
-
B.
\(2\sqrt {13} \)
-
C.
$4$
-
D.
$\sqrt 5 $
Giá trị của $x$ thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2\) là
-
A.
$x=3+\sqrt{2}$
-
B.
$x=\dfrac{-11}{4}$
-
C.
$x=3-\sqrt{2}$
-
D.
$x=\dfrac{11}{4}$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:
-
A.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
-
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
-
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$
-
D.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nếu và chỉ nếu:
-
A.
\(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)
-
B.
\(\overrightarrow {OM} = z.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + x.\overrightarrow k \)
-
C.
\(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow j + y.k + z.\overrightarrow i \)
-
D.
\(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow k + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow i \)
Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số thuần ảo
-
B.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
-
C.
Phương trình đã cho không có nghiệm phức
-
D.
Phương trình đã cho không có nghiệm thực
Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a < 0$
-
C.
$a = 0$
-
D.
$a \leqslant 0$
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
-
A.
$y = \sin x + 1$
-
B.
\(y = \cos x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = - \cos x\)
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của \(d\)?
-
A.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (0,3, - 1)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (1,3, - 1)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 3, - 1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2,5)\)
Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
A.
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 \)
-
B.
\(\vec a \bot \vec b\)
-
C.
\(\left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\vec b \bot \vec c\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?
-
A.
$m = - 16$.
-
B.
$m = 16$.
-
C.
$m = 4$.
-
D.
$m = - 4$.
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp $S.ABC$?
-
A.
\(V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
B.
\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}\)
-
D.
\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{10}}\)
Gọi \(G\left( {4; - 1;3} \right)\) là tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\).
-
A.
\(C\left( { - 1;3;2} \right)\)
-
B.
\(C\left( {11; - 2;10} \right)\)
-
C.
\(C\left( {5; - 6;2} \right)\)
-
D.
\(C\left( {13; - 8;8} \right)\)
Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\left( C \right).$ Tất cả các giá trị của m để (C) có 3 đường tiệm cận là:
-
A.
$m < 1$
-
B.
$m \ne 0$
-
C.
$m = - 3$
-
D.
$m < 1;\,m \ne 0$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.
-
A.
$m = - 3$
-
B.
$m = - 2$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 2$
Anh A mua 1 chiếc Laptop giá $23$ triệu đồng theo hình thức trả góp, lãi suất mỗi tháng là $0,5\% $. Hỏi mỗi tháng anh A phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền để sau $6$ tháng anh trả hết nợ?
-
A.
$5.345.000$ đồng
-
B.
$4.000.000$ đồng
-
C.
$3.900.695$ đồng
-
D.
$3.852.500$ đồng
Đặt \(a = {\log _2}5\) và \(b = {\log _2}6\). Hãy biểu diễn \({\log _3}90\) theo $a$ và $b$?
-
A.
\({\log _3}90 = \dfrac{{a - 2b + 1}}{{b + 1}}\)
-
B.
\({\log _3}90 = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}\)
-
C.
\({\log _3}90 = \dfrac{{2a - b + 1}}{{a + 1}}\)
-
D.
\({\log _3}90 = \dfrac{{2a + b - 1}}{{a - 1}}\)
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}}$. Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?
-
A.
$f\left( x \right) > 9 \Leftrightarrow x-2 - \left( {{x^2} - 4} \right)\log_{3}7 > 0$
-
B.
$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\ln 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\ln 7>0$
-
C.
$f\left( x \right)>9~\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\log 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\log 7>0$
-
D.
$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\log }_{0,2}}3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{0,2}}7>0$
Ta có \(\int {{x^2}.{e^x}dx = \left( {{x^2} + mx + n} \right)} {e^x} + C\) khi đó \(m.n\) bằng.
-
A.
\( - 4\).
-
B.
\(5\).
-
C.
\(4\).
-
D.
\(0\).
Tìm các số thực \(a,\,\,b\) để hàm số \(f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5.\)
-
A.
\(a=-\frac{\pi }{2},\,\,b=2.\)
-
B.
\(a=\pi ,\,\,b=-\,1.\)
-
C.
\(a=\frac{\pi }{2},\,\,b=2.\)
-
D.
\(a=-\,\pi ,\,\,b=1.\)
Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = {x^2}$và đường thẳng là $y = 25$. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua $O$ và điểm $M$ trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm $M$ bằng cách tính độ dài $OM$ để diện tích mảnh vường nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$.
-
A.
$OM=2\sqrt{5}$
-
B.
$OM = 3\sqrt {10} $
-
C.
$OM = 15$
-
D.
$OM = 10$
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = - 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$8$
Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
-
A.
\(R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } \)
-
B.
\(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}\)
-
C.
$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
-
D.
$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
A.
\(\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.\)
-
B.
\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)
-
C.
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.\)
-
D.
\(\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \((P):x - y - z - 1 = 0\) và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}$. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(1;1; - 2)\) vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là:
-
A.
$\Delta :\dfrac{x}{{ - 6}} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{9}$
-
B.
$\Delta :\dfrac{{x - 3}}{{50}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 75}}$
-
C.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}$
-
D.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{5} = \dfrac{z}{3}$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
-
A.
$x - 2y + 3z - 2 = 0$
-
B.
$x - 2y - 3z - 2 = 0$
-
C.
$x + 2y - 3z - 6 = 0$
-
D.
$2x - y - 1 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\) . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là
-
A.
\(2x - 2y + z - 2 = 0\) và \(2x - 2y + z + 16 = 0\)
-
B.
\(2x - 2y + z + 2 = 0\) và \(2x - 2y + z - 16 = 0\)
-
C.
\(2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
-
D.
\(2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} + 1$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx + 2$. Biết rằng tồn tại $m$ để diện tích hình phẳng giới hạn bới $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
-
A.
\(S = \dfrac{8}{3}\)
-
B.
\(S = \dfrac{4}{3}\)
-
C.
\(S = 4\)
-
D.
\(S = \dfrac{{16}}{9}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)$ và \(\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right)\). Giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng
-
A.
\(m = \dfrac{3}{5}\)
-
B.
\(m = \dfrac{2}{5}\)
-
C.
\(m = \dfrac{3}{4}\)
-
D.
\(m = \dfrac{2}{3}\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\tan ^5}x$.
-
A.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
-
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
-
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
-
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $8$. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng $x$, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\) thể tích tứ diện $ABCD$. Giá trị của $x$ là:
-
A.
\(3\sqrt[3]{2}\)
-
B.
\(3\sqrt[3]{4}\)
-
C.
\(2\sqrt 2 \)
-
D.
\(2\sqrt[3]{4}\)
Xét số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| {z - 1 + i} \right|\). Tính \(P = m + M\).
-
A.
\(P = \sqrt {13} + \sqrt {73} \)
-
B.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\)
-
C.
\(P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} \)
-
D.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}\)
Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x), y = \dfrac{{f\left( x \right) + 3}}{{g\left( x \right) + 1}}$ . Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 1$ bằng nhau và khác $0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
-
A.
$f\left( 1 \right) \leqslant - \dfrac{{11}}{4}$
-
B.
$f\left( 1 \right) < - \dfrac{{11}}{4}$
-
C.
$f\left( 1 \right) > - \dfrac{{11}}{4}$
-
D.
$f\left( 1 \right) \geqslant - \dfrac{{11}}{4}$
Số nghiệm của phương trình ${\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)$là
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$4$
Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:
-
A.
\(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
B.
\(mn = - \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
C.
\(mn = 4\)
-
D.
\(mn = - 4\)
Lời giải và đáp án
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z = 3-i$. Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên ?
-
A.
Điểm $P$
-
B.
Điểm $Q$
-
C.
Điểm $M$
-
D.
Điểm $N$
Đáp án : B
- Chia hai số phức \(\dfrac{z}{{z'}} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{z'.\overline {z'} }} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{{{\left| {z'} \right|}^2}}}\)
- Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\)
$\left( {1 + i} \right)z = 3 - i \Rightarrow z = \dfrac{{3 - i}}{{1 + i}} = \dfrac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}} = \dfrac{{2 - 4i}}{{{1^2} + {1^2}}} = 1 - 2i \Rightarrow Q\left( {1; - 2} \right)$ là điểm biểu diễn $z$.
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = {x^2}\)
-
C.
\(y = {x^3} - 3x\)
-
D.
\(y = - {x^4}\)
Đáp án : A
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) không có cực trị.
Dễ thấy hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên không có cực trị.
Ngoài ra, có thể kiểm tra được các cực trị của mỗi hàm số được cho ở ba đáp án B, C, D.
Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}Sh\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{2}Sh\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{6}Sh\)
-
D.
\(V = Sh\)
Đáp án : D
Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là \(V = Sh\).
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
B.
$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
C.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
-
D.
$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án.
Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
$\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \\\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \\\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \end{array}$
Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đường cong \(x = \sqrt y \), trục tung và hai đường thẳng \(y = 1,y = 4\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) được tính theo công thức:
-
A.
\(V = \pi \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt y } \right|dy} \)
-
B.
\(V = \int\limits_1^4 {{y^2}dy} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_1^4 {{y^2}dy} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_1^4 {ydy} \)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2}dy} = \pi \int\limits_1^4 {ydy} \).
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
-
A.
$f\left( 0 \right) < 5$
-
B.
$f\left( 2 \right) \geqslant 5$
-
C.
$f\left( 1 \right) = 5$
-
D.
$f\left( 0 \right) = 5$
Đáp án : B
GTNN của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng $5$ nên $f\left( x \right) \geqslant 5,\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \geqslant 5$.
Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bới các đường \(x=\sqrt{y};\,y=-x+2,x=0\) quanh trục $Ox$ có giá trị là kết quả nào sau đây ?
-
A.
\(V=\frac{3}{2}\pi \)
-
B.
\(V=\frac{1}{3}\pi \)
-
C.
\(V=\frac{11}{6}\pi \)
-
D.
\(V=\frac{32}{15}\pi \)
Đáp án : D
Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right);y=g\left( x \right);\,\,x=a;\,\,x=b\) khi quay quanh trục Ox là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}\)
ĐK : \(x\ge 0;\,\,y\ge 0\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{2}}=-x+2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}x=-2\,\,\left( ktm \right) \\x=1\,\,\,\,\,\,\,\left( tm \right) \\\end{align} \right.\)
\(\Rightarrow V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-{{\left( -x+2 \right)}^{2}} \right|dx}=\pi \left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+4x-4 \right)}dx \right|=\frac{32}{15}\pi \)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
-
A.
$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
-
B.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
-
C.
$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
-
D.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Đáp án : D
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
${x^3}-x = 2x \Leftrightarrow {x^3}-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (chỉ xét trên $\left( {-1;1} \right)$)
Với $x \in \left( {-1;0} \right)$ thì ${x^3}-3x > 0$ ; với $x \in \left( {0;1} \right)$ thì ${x^3}-3x < 0$
Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r = 3cm\) và độ dài đường sinh \(4cm\) là:
-
A.
\(12({m^2})\)
-
B.
\(12\pi (c{m^3})\)
-
C.
\(12\pi (c{m^2})\)
-
D.
\(4\pi (c{m^2})\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\).
Áp dụng công thức \({S_{xq}} = \pi rl\) ta được: \({S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hai hàm số \(f,\,\,g\) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
B.
$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
C.
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
-
D.
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Đáp án : B
Sử dụng tính chất của tích phân.
Đáp án A: đúng theo tính chất tích phân.
Đáp án B: sai vì \(x\) không phải hằng số nên không đưa được ra ngoài dấu tích phân.
Đáp án C: đúng theo tính chất tích phân.
Đáp án D: đúng theo tính chất tích phân.
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
-
A.
nhỏ hơn
-
B.
nhỏ hơn hoặc bằng
-
C.
bằng
-
D.
lớn hơn
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi, lấy ví dụ cho hình tứ diện để chọn đáp án.
Hình tứ diện có \(6\) cạnh và \(4\) đỉnh nên số cạnh của tứ diện lớn hơn số mặt của nó.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:
-
A.
\(\sqrt 2 \)
-
B.
\(\sqrt 3 \)
-
C.
\(2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{5}{{\sqrt {17} }}\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: \(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;0;2} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)\). Khi đó:
\(\overrightarrow {MA} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right) \)
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\2\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;2; - 2} \right)$
Vậy $d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 $
Cho ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
A.
$m < n$
-
B.
$m > n$
-
C.
$m \le n$
-
D.
$m = n$
Đáp án : B
Sử dụng tính chất so sánh: Với $0 < a < 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$.
Vì $0 < \sqrt 2 - 1 < 1$ nên ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n$.
Cho $2$ số phức,\({z_1} = 1 + 3i,{\overline z _2} = 4 + 2i\). Tính môđun của số phức ${z_2} - 2{z_1}$
-
A.
\(2\sqrt {17} \)
-
B.
\(2\sqrt {13} \)
-
C.
$4$
-
D.
$\sqrt 5 $
Đáp án : A
+Sử dụng các quy tắc nhân chia số phức thông thường để tìm số phức
+\(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) và \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\({z_2} - 2{z_1} = 4 - 2i - 2(1 + 3i) = 2 - 8i \Rightarrow |{z_2} - 2{z_1}| = \sqrt {{2^2} + {8^2}} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17} \)
Giá trị của $x$ thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}(3 - x) = 2\) là
-
A.
$x=3+\sqrt{2}$
-
B.
$x=\dfrac{-11}{4}$
-
C.
$x=3-\sqrt{2}$
-
D.
$x=\dfrac{11}{4}$
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp giải phương trình logarit cơ bản \({\log _a}x = m\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow x = {a^m}\)
Phương trình tương đương với:
\(3 - x = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{4}\)
Vậy $x = \dfrac{{11}}{4}$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:
-
A.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$
-
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
-
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$
-
D.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$
Đáp án : B
Quan sát bảng biến thiên và tìm các điểm cực tiểu, cực đại của hàm số.
Từ bảng biến thiên ta thấy:
- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x = - 2$ nên $x = - 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng).
- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x = 2$ nên $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số (A đúng).
- Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x = 0$ nên $x = 0$ là điểm cực đại của hàm số (D đúng).
- Qua điểm $x = 3$ thì đạo hàm không đổi dấu nên $x = 3$ không là điểm cực trị của hàm số (B sai).
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nếu và chỉ nếu:
-
A.
\(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)
-
B.
\(\overrightarrow {OM} = z.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + x.\overrightarrow k \)
-
C.
\(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow j + y.k + z.\overrightarrow i \)
-
D.
\(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow k + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow i \)
Đáp án : A
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)
Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
Phương trình đã cho không có nghiệm nào là số thuần ảo
-
B.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức
-
C.
Phương trình đã cho không có nghiệm phức
-
D.
Phương trình đã cho không có nghiệm thực
Đáp án : C
Tính \(\Delta \) từ đó giải phương trình theo \(\Delta \)
\(\Delta ' = 1 - 2 = - 1 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm là \(z = 1 + i\) và \(z = 1 - i\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phức.
Do đó các đáp án A, B, D đều đúng
Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a < 0$
-
C.
$a = 0$
-
D.
$a \leqslant 0$
Đáp án : A
Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty $ nên $a > 0$.
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
-
A.
$y = \sin x + 1$
-
B.
\(y = \cos x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = - \cos x\)
Đáp án : B
$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Đáp án : A
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của \(d\)?
-
A.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (0,3, - 1)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (1,3, - 1)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 3, - 1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2,5)\)
Đáp án : A
Phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
ở đó \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là VTCP của đường thẳng.
Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 0t\\y = 2 + 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\left( {t \in R} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {0;3; - 1} \right)\)
Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
A.
\(\left| {\vec a} \right| = \sqrt 2 \)
-
B.
\(\vec a \bot \vec b\)
-
C.
\(\left| {\vec c} \right| = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\vec b \bot \vec c\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức độ dài véc tơ \(\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {{u_1}} }^2}} = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \)
- Sử dụng điều kiện để hai véc tơ vuông góc \(\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0\)
Kiểm tra lần lượt các điều kiện
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \\\left| {\vec c} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \\\vec a.\vec b = ( - 1).1 + 1.1 + 0.0 = 0 \Rightarrow \vec a \bot \vec b\end{array} \right.\)
Lại có: \(\overrightarrow b .\overrightarrow c = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 \ne 0\) nên \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) không vuông góc.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?
-
A.
$m = - 16$.
-
B.
$m = 16$.
-
C.
$m = 4$.
-
D.
$m = - 4$.
Đáp án : B
Ta có: phương trình mặt cầu có 2 dạng:
Dạng 1: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}b} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} = {\rm{ }}{R^2}\left( {R{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính là $R$ .
Dạng 2: ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}2ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2by{\rm{ }}-{\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {c^2} > {\rm{ }}d} \right)$ có tâm là $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $
Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} $
Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16$
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp $S.ABC$?
-
A.
\(V = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
B.
\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{12}}\)
-
D.
\(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{10}}\)
Đáp án : B
- Bước 1: Tính diện tích đáy \({S_{ABC}}\).
- Bước 2: Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Bước 3: Tính chiều cao \(h = SO\).
- Bước 4: Tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC
Vì chóp S.ABC đều nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow OA\) là hình chiếu vuông góc của SA lên \(\left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = {60^0}\)
\(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SAO\) vuông tại O
Gọi D là trung điểm của BC ta có: \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow SO = AO.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\)
Vì tam giác ABC đều nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}a\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Gọi \(G\left( {4; - 1;3} \right)\) là tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;2; - 1} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\).
-
A.
\(C\left( { - 1;3;2} \right)\)
-
B.
\(C\left( {11; - 2;10} \right)\)
-
C.
\(C\left( {5; - 6;2} \right)\)
-
D.
\(C\left( {13; - 8;8} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác \(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nếu:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.4 - 0 - \left( { - 1} \right) = 13\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.\left( { - 1} \right) - 2 - 3 = - 8\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.3 - \left( { - 1} \right) - 2 = 8\end{array} \right. \)
$\Rightarrow C\left( {13; - 8;8} \right)$
Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\left( C \right).$ Tất cả các giá trị của m để (C) có 3 đường tiệm cận là:
-
A.
$m < 1$
-
B.
$m \ne 0$
-
C.
$m = - 3$
-
D.
$m < 1;\,m \ne 0$
Đáp án : D
- Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận là nó phải có 2 tiệm cận đứng.
$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{m}{{{x^2}}}}} = 0 $
Suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận $\Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng
$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $2$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ {2^2} - 2.2 + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - m > 0 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.
-
A.
$m = - 3$
-
B.
$m = - 2$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 2$
Đáp án : B
+ Tính \(y'\).
+ Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt.
+ Đánh giá và tìm GTNN của biểu thức \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018}\) sử dụng bất đẳng thức Cô-si với \({k_1},{k_2}\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.
+ Tìm điều kiện để $d$ đi qua giao điểm $I$ của $2$ đường tiệm cận của $\left( H \right)$.
Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ đã cho và $\left( H \right)$.
$\begin{array}{l} - 2x + m = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( { - 2x + m} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}$
$d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác \( - 2\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {6 - m} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$
(luôn đúng)
Gọi hoành độ giao điểm hai điểm \(A,B\) lần lượt là \({x_1},{x_2}\), khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.\)
Ta có:
\({k_1}.{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right]}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + 2.\dfrac{{m - 6}}{2} + 4} \right]}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m + 2m - 12 + 8}}{2}} \right)}^2}}} = 4\)
Khi đó \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2{\left| {{k_1}{k_2}} \right|^{1009}} = {2.4^{1009}} = {2^{2019}}\).
Dấu “=” xảy ra khi \({k_1} = {k_2} = 2\) hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.
Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng \(I\) của đồ thị \(\left( H \right)\) hay \(d\) đi qua \(I\left( { - 2;2} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
\( \Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = -2.\left( {-2} \right) + m \Leftrightarrow m = -2\)
Anh A mua 1 chiếc Laptop giá $23$ triệu đồng theo hình thức trả góp, lãi suất mỗi tháng là $0,5\% $. Hỏi mỗi tháng anh A phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền để sau $6$ tháng anh trả hết nợ?
-
A.
$5.345.000$ đồng
-
B.
$4.000.000$ đồng
-
C.
$3.900.695$ đồng
-
D.
$3.852.500$ đồng
Đáp án : C
- Bước 1: Xác định số tiền vay ban đầu $T$.
- Bước 2: Xác định lãi suất $r$ và định kỳ (theo tháng, quý, năm,…)
- Bước 3: Xác định số kỳ hạn $N$ (số tháng, số quý, số năm,…)
- Bước 4: Tính số tiền cuối mỗi tháng phải trả bằng công thức $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$
Ta có:
$\begin{array}{l}T = 23000000\\r = 0,5\% \\N = 6\end{array}$
Vậy $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}} = \dfrac{{23000000.0,5\% {{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^6}}}{{{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^6} - 1}} = 3900695$ đồng.
Đặt \(a = {\log _2}5\) và \(b = {\log _2}6\). Hãy biểu diễn \({\log _3}90\) theo $a$ và $b$?
-
A.
\({\log _3}90 = \dfrac{{a - 2b + 1}}{{b + 1}}\)
-
B.
\({\log _3}90 = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}\)
-
C.
\({\log _3}90 = \dfrac{{2a - b + 1}}{{a + 1}}\)
-
D.
\({\log _3}90 = \dfrac{{2a + b - 1}}{{a - 1}}\)
Đáp án : B
+ Chọn cơ số thích hợp nhất (thường là số xuất hiện nhiều lần)
+ Tính các logarit cơ số đó theo a và b
+ Sử dụng các công thức ${\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}};{\log _c}\left( {{a^m}.{b^n}} \right) = m{\log _c}a + n{\log _c}b$, biểu diễn logarit cần tính theo logarit cơ số đó
Có $b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1$
${\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5$ $ = 2 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}3}} + \dfrac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} $ $= 2 + \dfrac{{1 + a}}{{b - 1}} = \dfrac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}}$. Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?
-
A.
$f\left( x \right) > 9 \Leftrightarrow x-2 - \left( {{x^2} - 4} \right)\log_{3}7 > 0$
-
B.
$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\ln 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\ln 7>0$
-
C.
$f\left( x \right)>9~\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\log 3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right)\log 7>0$
-
D.
$f\left( x \right)>9\Leftrightarrow \left( x-2 \right){{\log }_{0,2}}3 - \left( {{x}^{2}}-4 \right){{\log }_{0,2}}7>0$
Đáp án : D
Dùng phương pháp logarit hai vế.
\(\begin{array}{l}f(x) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}} > 9 \Leftrightarrow {3^x} > {9.7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^x} > {3^2}{.7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^{x - 2}} > {\log _3}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow x - 2 > ({x^2} - 4){\log _3}7\end{array}\)
Từ đó dựa vào các đáp án ta thấy A đúng.
$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \ln {3^{x - 2}} > \ln {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\ln3 > ({x^2} - 4)\ln 7\end{array}$ => B đúng
$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \log {3^{x - 2}} > \log {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log3 > ({x^2} - 4)\log 7\end{array}$ => C đúng
$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _{0,2}}{3^{x - 2}} < {\log _{0,2}}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log_{{0,2}}3 < ({x^2} - 4){\log _{0,2}}7\end{array}$ => D sai
Ta có \(\int {{x^2}.{e^x}dx = \left( {{x^2} + mx + n} \right)} {e^x} + C\) khi đó \(m.n\) bằng.
-
A.
\( - 4\).
-
B.
\(5\).
-
C.
\(4\).
-
D.
\(0\).
Đáp án : A
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
- Đồng nhất hệ số tìm \(m,n\) và kết luận.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).
$ \Rightarrow \int {{x^2}.{e^x}dx} = {x^2}{e^x} - \int {2x{e^x}dx} $.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).
$ \Rightarrow \int {2x{e^x}dx} = 2x{e^x} - \int {2{e^x}dx} = 2x{e^x} - 2{e^x} + C$.
$ \Rightarrow \int {{x^2}.{e^x}dx} = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} + C$.
Khi đó \(m.n = - 4\).
Tìm các số thực \(a,\,\,b\) để hàm số \(f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=5.\)
-
A.
\(a=-\frac{\pi }{2},\,\,b=2.\)
-
B.
\(a=\pi ,\,\,b=-\,1.\)
-
C.
\(a=\frac{\pi }{2},\,\,b=2.\)
-
D.
\(a=-\,\pi ,\,\,b=1.\)
Đáp án : D
Áp dụng phương pháp tính tích phân với hàm số lượng giác
Ta có \(f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\Rightarrow f\left( 1 \right)=a.\cos \frac{\pi }{2}+b=1\Rightarrow b=1.\)
Và \(\int\limits_{0}^{3}{\left[ a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+1 \right]\,\text{d}x}=\left. \left( \frac{2a}{\pi }\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)+x \right) \right|_{0}^{3}=\frac{2a}{\pi }.\sin \frac{3\pi }{2}+3=-\frac{2a}{\pi }+3=5\Rightarrow a=-\,\pi .\)
Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = {x^2}$và đường thẳng là $y = 25$. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua $O$ và điểm $M$ trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm $M$ bằng cách tính độ dài $OM$ để diện tích mảnh vường nhỏ bằng $\dfrac{9}{2}$.
-
A.
$OM=2\sqrt{5}$
-
B.
$OM = 3\sqrt {10} $
-
C.
$OM = 15$
-
D.
$OM = 10$
Đáp án : B
- Gọi $M\left( {a;{a^2}} \right)$ và viết phương trình đường thẳng \(OM\).
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\):
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Giả sử $M\left( {a;{a^2}} \right) \in (P)$ thì ta có phương trình đường thẳng $OM$ là: $y = ax$
Khi đó diện tích mảnh vườn nhỏ là: $S = \int\limits_0^a {(ax - {x^2})dx = \left. {\left( {a\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|} _0^a = \dfrac{{{a^3}}}{6} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3$
Khi đó ta có: $OM = 3\sqrt {10} $
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = - 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$
Ta có: ${z_2} = 2i$
Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$8$
Đáp án : D
- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)
- Bước 2: Thay \(z\) vào biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\) suy ra tập hợp biểu diễn của số phức \(z\).
- Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức của \(x,y\).
Gọi $z = x + yi$;
Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$
$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$
Vậy quỹ tích các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $
$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$
Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30$ (theo bunhiacopxki)
$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$
Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Đáp án : C
- Tính thể tích khối chóp \({V_{C.A'AB}}\)
- Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào thể tích khối chóp.
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABB’A’$. Ta có \(CO \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CO \bot OA;CO \bot OB\)
\(\Delta COA = \Delta COB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OB \Rightarrow AB' = A'B \Rightarrow ABB'A'\) là hình chữ nhật.
Lại có \(AB = BB' = a \Rightarrow ABB'A'\) là hình vuông
Khi đó \(OA = OB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Xét tam giác vuông $OAC$ có: \(OC = \sqrt {A{C^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{C.A'AB}} = \dfrac{1}{3}OC.{S_{A'AB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Mà ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.\dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.{V_{A'.ABC}}$
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{C.A'AB}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
-
A.
\(R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } \)
-
B.
\(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}\)
-
C.
$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
-
D.
$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$
Đáp án : C
+ Chứng minh được tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $ABCC'B'$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
Gọi $AA'$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
\(AC \bot A'C;\,AB \bot A'B\)
Ta chứng minh \(AC' \bot A'C'\)
\(SA \bot A'C;\,AC \bot A'C \Rightarrow A'C \bot AC'\)
Mà \(AC' \bot SC \Rightarrow AC' \bot A'C'\)
Tương tự \(AB' \bot A'B'\)
Như vậy $B,C,C',B'$ cùng nhìn $AA'$ bằng $1$ góc vuông nên $A,B,C,B',C'$ cùng thuộc $1$ mặt cầu có đường kính là $AA'$ và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Tính \(BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2b\cos \alpha } \)
Trong tam giác \(ABC:\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
A.
\(\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.\)
-
B.
\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)
-
C.
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.\)
-
D.
\(\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.\)
Đáp án : B
+) Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\)
+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng.
Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\)
Vì \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc \(\Rightarrow \) Thể tích khối chóp \(O.ABC\) là \(V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}.\)
Điểm \(M\in \left( P \right)\) suy ra \(1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}\) \(\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}\) \(\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..\) Vậy \(\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \((P):x - y - z - 1 = 0\) và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}$. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(A(1;1; - 2)\) vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là:
-
A.
$\Delta :\dfrac{x}{{ - 6}} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z - 2}}{9}$
-
B.
$\Delta :\dfrac{{x - 3}}{{50}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 75}}$
-
C.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}$
-
D.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{5} = \dfrac{z}{3}$
Đáp án : C
Vì \(\Delta \) vuông góc với $d$ và song song với $ (P) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = {\rm{[}}\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} {\rm{]}}$
Phương trình đường thẳng qua \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ có dạng:
$d:\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 2; - 5;3)$
Vì \(\Delta \) vuông góc với $d$ và song song với $ (P)\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 2; - 5;3} \right)$
Ta có:
\((\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} = ( - 2; - 5;3)\\A(1;1; - 2) \in (\Delta )\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 2}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
-
A.
$x - 2y + 3z - 2 = 0$
-
B.
$x - 2y - 3z - 2 = 0$
-
C.
$x + 2y - 3z - 6 = 0$
-
D.
$2x - y - 1 = 0$
Đáp án : B
+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu
+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$
+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến
$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.
Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$
Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$
Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\) . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là
-
A.
\(2x - 2y + z - 2 = 0\) và \(2x - 2y + z + 16 = 0\)
-
B.
\(2x - 2y + z + 2 = 0\) và \(2x - 2y + z - 16 = 0\)
-
C.
\(2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
-
D.
\(2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
Đáp án : B
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu
Tâm mặt cầu $I(1;-2;1)$, bán kính $R=3$.
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ có phương trình dạng $2{\rm{x - }}2y + z + D = 0$
Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu nên ${\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \left| {D - 7} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 2}\\{D = - 16}\end{array}} \right.$
Phương trình $(P)$ là $2x-2y+z+2=0; 2x-2y+z-16=0$.
Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} + 1$ và đường thẳng $\left( d \right):y = mx + 2$. Biết rằng tồn tại $m$ để diện tích hình phẳng giới hạn bới $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
-
A.
\(S = \dfrac{8}{3}\)
-
B.
\(S = \dfrac{4}{3}\)
-
C.
\(S = 4\)
-
D.
\(S = \dfrac{{16}}{9}\)
Đáp án : B
Đây là một trong những bài toàn phức tạp nhất trong đề thi. Cần vận dụng các linh hoạt các hệ thức vi-et để “gò” biểu thức theo 1 biến là $m$.
Phương trình hoành độ giao điểm $d$ và $\left( P \right)$
Có: ${x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0 (1) \Rightarrow \Delta = {m^2} + 4 > 0$
Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ với mọi $m$.
Giả sử $A,B$ lần lượt có hoành độ là $a,{\rm{ }}b$ nên $A\left( {a;ma + 2} \right)$ và $B\left( {b;mb + 2} \right){\rm{ }}\left( {a < b} \right)$
Với $x$ thuộc $x \in \left( {a;b} \right)$ thì $mx + 2 \ge {x^2} + 1$
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $\left( P \right)$
\(S = \int_a^b {\left( {mx + 2 - {x^2} - 1} \right)dx = \int_a^b {(mx - {x^2} + 1)dx = \left. {\left( {\dfrac{{m{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_a^b} } \)
$= \left( {b - a} \right)\left[ {\dfrac{m}{2}(a + b) + 1 - \dfrac{1}{3}({a^2} + {b^2} + ab)} \right]$
$ = (b - a)\left[ {\dfrac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \dfrac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{3}ab} \right] $
$\Rightarrow {S^2} = {(b - a)^2}{\left[ {\dfrac{m}{2}(b + a) + 1 - \dfrac{1}{3}{{(a + b)}^2} + \dfrac{1}{3}ab} \right]^2}$
$ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {\dfrac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \dfrac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{1}{3}ab} \right]^2}$
Vì $a,b$ là nghiệm của pt $(1)$ nên $a + b = m$ và $ab = - 1$
Suy ra \({S^2} = {\left( {{m^2} + 4} \right)}{\left( {\dfrac{{{m^2}}}{6} + \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 4.\dfrac{4}{9} = \dfrac{{16}}{9} \Rightarrow S \ge \sqrt {\dfrac{{16}}{9}} = \dfrac{4}{3}\,khi\,m = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)$ và \(\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right)\). Giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng
-
A.
\(m = \dfrac{3}{5}\)
-
B.
\(m = \dfrac{2}{5}\)
-
C.
\(m = \dfrac{3}{4}\)
-
D.
\(m = \dfrac{2}{3}\)
Đáp án : B
Điều kiện để ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) đồng phẳng là \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0\)
Ta có
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&{m + 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&m\\{m + 1}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {m - 4;2m + 1;2 - {m^2} - m} \right)\)
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m)\)
\(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng khi
\(\begin{array}{l}\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) + 2(2 - {m^2} - m) = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + m - 2 + 4 - 2{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 5m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\end{array}\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\tan ^5}x$.
-
A.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
-
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} - \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
-
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
-
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x} + \dfrac{1}{2}{\tan ^2}x + \ln \left| {\cos x} \right| + C.$
Đáp án : B
Đặt \(t = \tan x\) rồi tính \(dx\) theo \(dt\) và thay vào tìm nguyên hàm.
$I = \int {f(x)dx} = \int {{{\tan }^5}xdx} $.
Đặt $\tan {\mkern 1mu} x = t \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = dt \Rightarrow ({\tan ^2}x + 1)dx = dt \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}$
Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{I = \int {{t^5}.\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} = \int {({t^3} - t + \dfrac{t}{{{t^2} + 1}})dt} = \int {{t^3}dt} - \int {tdt} + \int {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt} }\\{ = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d({t^2} + 1)}}{{{t^2} + 1}}} = \dfrac{1}{4}{t^4} - \dfrac{1}{2}{t^2} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {{t^2} + 1} \right| + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{4}{{\tan }^4}x - \dfrac{1}{2}{{\tan }^2}x - \ln \left| {\cos x} \right| + C}\end{array}\)
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $8$. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng $x$, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\) thể tích tứ diện $ABCD$. Giá trị của $x$ là:
-
A.
\(3\sqrt[3]{2}\)
-
B.
\(3\sqrt[3]{4}\)
-
C.
\(2\sqrt 2 \)
-
D.
\(2\sqrt[3]{4}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a:V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) để tính thể tích các khối tứ diện đều trong bài.
Tứ diện \(ABCD\) đều cạnh \(a\) có thể tích là \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Vì tứ diện đều $ABCD$ cạnh $8$ nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{8^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\)
Tứ diện đều $FAHI$ cạnh $x$ nên \({V_1} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Tương tự ta có: \({V_2} = {V_3} = {V_4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
\( \Rightarrow \)Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là \(V = {V_{ABCD}} - 4{V_1} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} - 4\dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3}\)
Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\) thể tích tứ diện $ABCD$ nên ta có:
\(\dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow 128 - {x^3} = 96 \Leftrightarrow {x^3} = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{32}} = 2\sqrt[3]{4}\)
Xét số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| {z - 1 + i} \right|\). Tính \(P = m + M\).
-
A.
\(P = \sqrt {13} + \sqrt {73} \)
-
B.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\)
-
C.
\(P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} \)
-
D.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}\)
Đáp án : B
- Gọi $z = x + yi$ và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn bài toán.
- Biểu diễn tập hợp điểm đó trên hệ trục tọa độ từ đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức đã cho.
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$
Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì
$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB\end{array}$
Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB
Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$
Do đó \(P{C_{\min }}\) khi \(P\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\) và \(P{C_{\max }}\) khi \(P \equiv B\)
Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.
Ta có: \(AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)\( \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}\)
$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x), y = \dfrac{{f\left( x \right) + 3}}{{g\left( x \right) + 1}}$ . Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 1$ bằng nhau và khác $0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
-
A.
$f\left( 1 \right) \leqslant - \dfrac{{11}}{4}$
-
B.
$f\left( 1 \right) < - \dfrac{{11}}{4}$
-
C.
$f\left( 1 \right) > - \dfrac{{11}}{4}$
-
D.
$f\left( 1 \right) \geqslant - \dfrac{{11}}{4}$
Đáp án : A
- Tính $\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'$.
- Thay $x=1$ vào các đạo hàm $f'\left( x \right),g'\left( x \right),\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'$ để tìm mối quan hệ của $f\left( 1 \right),g\left( 1 \right)$.
- Rút $f\left( 1 \right)$ theo $g\left( 1 \right)$ và đánh giá biểu thức chỉ chứa $g\left( 1 \right)\Rightarrow f\left( 1 \right)$.
Ta có:
$y'=\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'=\dfrac{f'\left( x \right)\left( g\left( x \right)+1 \right)-g'\left( x \right)\left( f\left( x \right)+3 \right)}{{{\left( g\left( x \right)+1 \right)}^{2}}}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - g'\left( 1 \right)\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right)\end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2 = {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) = - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3\end{array}$
Xét phương trình \( - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3 = 0\) có:
$\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 11 < 0;a = - 1 < 0$
$\dfrac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\,\,\, \Rightarrow f\left( 1 \right) \le \dfrac{{ - 11}}{4}$
Số nghiệm của phương trình ${\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)$là
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$4$
Đáp án : B
Điều kiện của hàm $lo{g_a}f\left( x \right)$ có nghĩa là: $0 < a \ne 1;f\left( x \right) > 0$ .
Bài toán sử dụng phương pháp hàm số.
Đặt ${x^2} - \sqrt 2 x = t$ khi đó ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t > - 2;t \ne 0)$
Đặt ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}|t| = {3^a}\\t + 2 = {5^a}\end{array} \right. $
$\Rightarrow \left| {{5^a} - 2} \right| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} - 2 = - {3^a}\\{5^a} - 2 = {3^a}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} + {3^a} = 2(1)\\{5^a} = {3^a} + 2(2)\end{array} \right.$
Xét (1): $f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)$ nên hàm số đồng biến trên $R$
Mặt khác $f(0) = 2$ do đó phương trình $f(a) = f(0)$ có 1 nghiệm duy nhất $a = 0 \Rightarrow t = -1$
Suy ra: ${x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0$ (vô nghiệm)
Xét (2) $ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} = 1$.
Đặt $g(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{3}{5} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{1}{5} < 0(\forall a \in R)$
Nên hàm số $g(a)$ nghịch biến trên $R$ do đó phương trình $g(a) = 1$ có tối đa 1 nghiệm.
Mà $g(a) = g(1)$ nên $ a = 1$
Suy ra $t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm.
Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:
-
A.
\(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
B.
\(mn = - \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
C.
\(mn = 4\)
-
D.
\(mn = - 4\)
Đáp án : A
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) biết VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\) và đi qua \(A\).
- \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).
- Tìm GTLN của biểu thức \(d\left( {B,\left( P \right)} \right)\) và suy ra đáp án.
$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $
Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$
Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$
Phương trình (*) luôn có nghiệm
$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$
Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $
$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$
$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
