* BBT của hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^3} + 8x} \right|\):

* Xét \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 8x} \right|} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)\) \( = \left( {h\left( x \right)} \right)'.f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| {{x^3} + 8x} \right| + m} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) Từ BBT của \(h\left( x \right)\) \( \Rightarrow h'\left( x \right) = 0\) chỉ chứa 1 nghiệm \(x = 0\) là điểm cực trị của \(h\left( x \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) \( \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm bội lẻ.

+) \(f'\left( x \right) = \left( {x - 10} \right)\left( {{x^2} - 25} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = - 5\\x = 5\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{x^3} + 8x} \right| + m = 10\\\left| {{x^3} + 8x} \right| + m = - 5\\\left| {{x^3} + 8x} \right| + m = 5\end{array} \right.\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) ít nhất 1 trong 3 đường thẳng \(y = 10,\,\,y = 5,\,\,y = - 5\) phải cắt \(\left| {{x^3} + 5x} \right| + m\) tại 2 điểm phân biệt (2 nghiệm bội lẻ khác 0).

\( \Leftrightarrow m < 10 \Rightarrow \) Có tất cả 9 giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.