Câu 1 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’. a) Mặt phẳng cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì? b) Chứng minh rằng mặt phẳng phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện và bằng nhau. c) Tính tỉ số thể tích của khối đa diện và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B’.

LG a

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì?

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(\left( \alpha \right) \cap C'D' = E\) thì thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) là tứ giác DNB’E.
Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = DN \hfill \cr
\left( \alpha \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'E \hfill \cr
\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow DN\parallel B'E.\)

Tương tự ta có:

\(\left\{ \matrix{
\left( \alpha \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = {NB'} \hfill \cr
\left( \alpha \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = DE \hfill \cr
\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow NB'\parallel DE.\)

Xét tứ giác DNB’E có: DN // B’E, NB’ // DE.
Vậy DNB’E là hình bình hành.

LG b

Chứng minh rằng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện \({H_1}\) và \({H_2}\) bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

\(mp\left( \alpha \right)\) chia khối hộp thành hai khối đa diện \({H_1}:ADNA'B'ED'\) và \({H_2}:C'B'ECDNB.\)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo B’D và NE của hình bình hành DNB’E suy ra O là trung điểm của B’D. Do đó O là tâm hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Gọi \({D_{(O)}}\) là phép đối xứng qua tâm O ta có:

\({D_{(O)}}\): \(A \to C'\)

\(\eqalign{
& N \to E \cr
& B' \to D \cr
& E \to N \cr
& D' \to B \cr
& A' \to C \cr
& D \to B' \cr} \)

\( \Rightarrow \)\({D_{(O)}}\): \(ADNA'B'ED' \to C'B'ECDNB\) hay \({D_{(O)}}\): \({H_1} \to {H_2}.\)

Mà phép đối xứng tâm O là phép dời hình nên \({V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}}.\)

LG c

Tính tỉ số thể tích của khối đa diện \({H_1}\) và thể tích của khối tứ diện AA’BD.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = V.\)
Ta có: \({V_{AA'BD}} = {V_{A'.ABD}}.\)

\({S_{\Delta ABD}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}} \)

\(\Rightarrow {V_{A'.ABD}} = {1 \over 3}AA'.{S_{\Delta ABD}} \)\(= {1 \over 3}.AA'.{1 \over 2}{S_{ABCD}} = {1 \over 6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V \over 6}.\)

Mà \({V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}} = {V \over 2}.\)

Suy ra \({{{V_{{H_1}}}} \over {{V_{AA'BD}}}} = {{{V \over 2}} \over {{V \over 6}}} = 3.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 1 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao
Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD. a) Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó. b) Tính thể tích khối chóp D.BCC’B’.
Câu 1 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a va cạnh bên bằng . a) Tính thể tích của hình chóp đã cho. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi A’ và C’ lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và SC. Chứng minh rằng hai hình chóp A’.ABCD và C’.CBAD bằng nhau.
Câu 2 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao
Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), A’(6; 0; 0), B(0; 3; 0), B’(0 ;4; 0), C(0; 0; 4), C’(0; 0; 3). a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, A’, B, C. Chứng minh rằng B’ và C’ cũng nằm trên mặt cầu đó. b) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác A’B’C’ cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O. Viết phương trình đường thẳng đó. c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến của mp(ABC’) và mp(A’B’C).
Câu 2 Đề III trang 133 SGK Hình học 12 Nâng cao
Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3; -1) và B(-2; 1; 3). a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và B cách đều trục Ox. b) Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C. c) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mp(Oyz). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm O, A, B và có tâm nằm trên mp(Oxy).
Câu 2 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao
Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5). a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. d) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.