Bài 4 trang 93 SGK Hình học 10

Bình chọn:
3.3 trên 6 phiếu

Giải bài 4 trang 93 SGK Hình học 10. Cho đường thẳng Δ: x – y + 2 và hai điểm O(0, 0); A(2, 0)

Đề bài

Cho đường thẳng \(Δ: x – y + 2\) và hai điểm \(O(0; 0); \, A(2; 0).\)

a) Tìm điểm đối xứng của \(O\) qua \(Δ\)

b) Tìm điểm \(M\) trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(Δ, H\) là giao điểm của đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(Δ\).

\(\overline {OH}  = (x;y)\)

\( Δ: x – y + 2 = 0\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u (1;1)\)

 \(\overrightarrow {OH}  \bot \Delta  \Rightarrow 1.x + 1.y = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H( - 1;1)\)

Gọi \(O’\) là đỉnh đối xứng của \(O\) qua \(Δ\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OO’\)

\(\eqalign{
& {x_H} = {{{x_O} + {x_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {x_{O'}}} \over 2} \cr&\Rightarrow {x_{O'}} = - 2 \cr
& {y_H} = {{{y_O} + {y_{O'}}} \over 2} \Leftarrow - 1 = {{0 + {y_{O'}}} \over 2}\cr& \Rightarrow {y_{O'}} = 2 \cr} \)

Vậy \(O’(-2;2)\).

b) Nối \(O’A\) cắt \(Δ\) tại \(M\)

Ta có: \(OM = O’M\)

\(⇒ OM + MA = O’M + MA = O’A\)

 

Giả sử trên \(Δ\) có một điểm \(M’ ≠ M\), ta có ngay:

\(OM’ +M’A > O’A\)

Vậy điểm \(M\), giao điểm của \(O’A\) với \(Δ\), chính là điểm thuộc \(Δ\) mà độ dài của đường gấp khúc \(OMA\) ngắn nhất.

\(A(2; 0); O(-2; 2)\) nên \(O’A\) có hệ phương trình: \(x + 2y – 2 = 0\)

Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{
x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr
x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M( - {2 \over 3},{4 \over 3})\)

loigiaihay.com

 

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Ôn tập chương III - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

>>Học trực tuyến Lớp 10 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu