Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)

Lời giải chi tiết

Trong (ABC), gọi {I} = PR ∩ AC

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\
\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\\
\left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\\
AC \cap PR = I
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in Qt
\end{array}\)

Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có

\({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\)

\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :

\({{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \)

\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Hai đường thẳng song song

  • Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’

  • Câu 20 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD nếu:

  • Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

  • Câu 18 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ

  • Câu 17 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

    Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài