Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao


Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng

a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy

Lời giải chi tiết

 

a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).

Ta có:

(PQRS) ∩ (ABC) = PQ

(PQRS) ∩ (ACD) = RS

(ABC) ∩ (ACD) = AC

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.

b. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).

Ta có:

(PQRS) ∩ (ABD) = PS

(PQRS) ∩ (BCD) = RQ

(ABD) ∩ (BCD) = BD

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại, nếu ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PS và RQ cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Hai đường thẳng song song

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài