Bài tập trắc nghiệm khách quan chương III


Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng định đúng.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng định đúng.

Bài 60

Giả sử \(\int\limits_1^5 {{{dx} \over {2x - 1}}}  = \ln c\). Giá trị của c là
(A) \(9\);                     (B) \(3\);

(C) \(81\);                   (D) \(8\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{2x - 1}}} = \int\limits_1^5 {\frac{{\frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right)'dx}}{{2x - 1}}} \\
= \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {\frac{{d\left( {2x - 1} \right)}}{{2x - 1}}} = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right|_1^5\\
= \frac{1}{2}\left( {\ln 9 - \ln 1} \right) = \frac{1}{2}\ln {3^2} = \ln 3\\
\Rightarrow \ln c = \ln 3 \Rightarrow c = 3
\end{array}\)

Chọn (B).

Chú ý:

Có thể sử dụng công thức làm nhanh \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

Bài 61

Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} \) là

\(\left( A \right)\,{e^4}\);                \(\left( B \right)\,{e^4} - 1;\)

\(\left( C \right)\,4{e^4};\)                \(\left( D \right)\,3{e^4} - 1;\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx} = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}\left( {2x} \right)'dx} \\
= \int\limits_0^2 {{e^{2x}}d\left( {2x} \right)} = \left. {{e^{2x}}} \right|_0^2\\
= {e^4} - {e^0} = {e^4} - 1
\end{array}\)

Chú ý: Có thể sử dụng công thức làm nhanh \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\)

\(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}dx}  =2.{\dfrac{{e^{2x}}}{2}}|_0^2 = {e^4} - 1\)

Chọn (B).

Bài 62

Giá trị của \(\int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \) là:

\(\left( A \right)\, - {7 \over {10}};\)                 \(\left( B \right)\, - {6 \over {10}};\)

\(\left( C \right)\,{2 \over {15}};\)                       \(\left( D \right)\,{1 \over {60}}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \cr &= \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}\left( {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1} \right)dx} \cr & = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + {x^2}} \right)dx} \cr &= \left( {{{{x^6}} \over 6} + {{3{x^5}} \over 5} + {{3{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}} \right)|_{ - 1}^0 \cr & = 0 - \left( {\frac{1}{6} - \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}} \right)= {1 \over {60}} \cr} \)

Chọn (D).

Bài 63

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y = 4x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) \(4\);                       (B) \(5\);

(C) \(3\);                       (D) \(3,5\).

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

\(\left\{ \matrix{
{x^3} = 4x \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) \( \Rightarrow 4x - {x^3} = x\left( {4 - {x^2}} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow \left| {4x - {x^3}} \right| = 4x - {x^3}\)

Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^3}} \right|dx}  \) \(= \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^3}} \right)dx}  \) \(= \left( {2x^2 - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^2 \) \(8-4= 4\)

Chọn (A).

Bài 64

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng \(y = 8x, y = x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) là:

(A) \(12\);               (B) \(15,75\);

(C) \(6,75\);             (D) \(4\)

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {x^3} = 8x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2\sqrt 2 \hfill \cr 
x = - 2\sqrt 2 \,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr 
& {x^3} = x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr 
x = - 1\,\left( \text {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\eqalign{
& S =\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\left( {8x - {x^3}} \right)} dx\cr &-\int\limits_0^1 {\left( {x - x^3} \right)} dx \cr 
& = \left( {4{x^2} - {{{x^4}} \over 4}} \right)|_0^{2\sqrt 2 } \cr &-\left({1 \over 2}{x^2}-{1 \over 4}{x^4}\right)|_0^1 \cr &= \left( {32 - 16} \right) - \left( {{1 \over 2} - {1 \over 4}} \right) \cr &= 16 - {1 \over 4} = 15,75 \cr} \)

Chọn (B).

Bài 65

Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng \(y=2x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là:

\(\left( A \right)\,{4 \over 3};\)              \(\left( B \right)\,{3 \over 2};\)

\(\left( C \right)\,{5 \over 3};\)                 \(\left( D \right)\,{{23} \over {15}}.\)

Phương pháp giải:

- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

- Sử dụng công thức tính diện tích \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)-g(x)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\) \( \Rightarrow \left| {2x - {x^2}} \right| = 2x - {x^2}\)

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx}= \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx}  \) \( = \left( {{x^2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)|_0^2 = {4 \over 3}\)

Chọn (A)

Bài 66

Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số \(y = {x^2}\) và \(y = 6 - \left| x \right|\). Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:

\(\left( A \right)\,{{32\pi } \over 3};\)               \(\left( B \right)\,9\pi ;\)

\(\left( C \right)\,8\pi \,;\)                \(\left( D \right)\,{{20\pi } \over 3}.\)

Phương pháp giải:

Dựng hình, sử dụng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)

Lời giải chi tiết:

\(y = 6 - \left| x \right| = \left\{ \matrix{
6 - x\,\,\text{ nếu }\,\,x \ge 0 \hfill \cr 
6 + x\,\,\,\text{ nếu }\,\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Giao điểm của (P) với đường thẳng \(y=6-x\) ( với \(x \ge 0\)) là:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 6 - x \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\,\left( {y = 4} \right)\)

\(\eqalign{
& V = {\int\limits_0^4 {\pi \left( {\sqrt y } \right)} ^2}dy + \int\limits_4^6 {\pi {{\left( {6 - y} \right)}^2}dy} \cr &= \pi \int\limits_0^4 {ydy} + \pi \int\limits_4^6 {{{\left( {y - 6} \right)}^2}dy} \cr 
&  = \pi {{{y^2}} \over 2}|_0^4 + \pi {1 \over 3}{\left( {y - 6} \right)^3}|_4^6 \cr &= 8\pi + {{8\pi } \over 3} = {{32\pi } \over 3} \cr} \)

Chọn (A)

Bài 67

Cho \(a,b\) là hai số dương. Gọi \(K\) là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol \(y = a{x^2}\) và đường thẳng \(y=-bx\). Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay \(K\) xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của \(a\) và \(b\). Khi đó \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện sau:

\(\left( A \right)\,{b^4} = 2{a^5}\,;\)

\(\left( B \right)\,{b^3} = 2{a^5}\,;\)

\(\left( C \right)\,{b^5} = 2{a^3}\,;\)

\(\left( D \right)\,{b^4} = 2{a^2}.\)

Lời giải chi tiết:

\(a{x^2} = - bx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - {b \over a} \hfill \cr} \right.\)

\(V = \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( { - bx} \right)}^2}} dx - \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {{{\left( {a{x^2}} \right)}^2}dx} \)

\(= \pi \int\limits_{ - {b \over a}}^0 {\left( {{b^2}{x^2} - {a^2}{x^4}} \right)} dx \) \(=\pi \left( {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right)\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0 \)

\(=  - \pi \left( {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right) \) \(= {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}\)

Vì \({{{b^5}} \over {{a^3}}}\) là hằng số nên ta phải chọn (C).

Khi đó \(V = {{4\pi } \over {15}}.\)

   Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Bài tập trắc nghiệm khách quan chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Toán 12 Nâng cao

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài