Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

LG a

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

Phương pháp giải:

- Chọn một điểm đi qua của d.

- Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm trên qua M.

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm vừa tìm và song song với d.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)$.

Gọi $N\left( {{x_N};{y_N}} \right)$ là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

$\left\{ \matrix{ {x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr  {y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr  {y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.$

Vậy N(4, 2)

Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

$1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left( {y - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - y - 2 = 0.$

LG b

Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

Phương pháp giải:

- Viết pt đường thẳng d' đi qua M và vuông góc với d.

- Tìm giao điểm của d và d'.

Lời giải chi tiết:

Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow m  = \left( {1;1} \right)$ do đó d’ có phương trình tổng quát là:

$1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 3 = 0$

Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ x - y = 0 \hfill \cr  x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {3 \over 2} \hfill \cr  y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy $M'\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)$.

Cách khác:

* Gọi H(a, b) là hình chiếu của M trên d.

* Vì điểm H thuộc đường thẳng d nên: a - b = 0 (1)

* Ta có HM vuông góc với d nên $\overrightarrow {MH}  = \left( {a - 2;b - 1} \right)$ là một vecto chỉ phương của d.

Lại có: $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)$ là 1 vecto pháp tuyến của d nên hai vecto $\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow n$ cùng phương

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a - 2}}{1} = \dfrac{{b - 1}}{{ - 1}}\\ \Leftrightarrow  - a + 2 = b - 1\\ \Leftrightarrow  - a - b =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\ - a - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{2}\\b = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$

Loigiaihay.com