Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)

b) f(2) = 6

c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5

Lời giải chi tiết

Giả sử: f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4) nên f(0) = -4 \( \Leftrightarrow a{.0^2} + b.0 + c =  - 4\)

⇒ c = -4

f(2) = 6 \( \Leftrightarrow a{.2^2} + b.2 + c = 6\)

⇒ 4a + 2b - 4 = 6 ⇒ 4a + 2b = 10

⇒ 2a + b = 5 (1)

f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} + 16a > 0\)

Khi đó, \({x_1} - {x_2} = 5 \Rightarrow \) (x₁ – x₂ )² = 25

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 25\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 25
\end{array}\)

⇔ S² – 4P = 25

Với

\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\({\left( { - \frac{b}{a}} \right)^2} - 4.\frac{{ - 4}}{a} = 25\)\(\Leftrightarrow  {{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)

\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: 

\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr 
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)

Thay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:

\({(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2}\)\( \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)

Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)

Nếu \(a =  - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)

Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y =  - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Loigiaihay.com