Bài 19 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\). Nếu hình nón đó có chiều cao bằng \(h\) thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải chi tiết

Hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là \((O;r)\).

Lấy điểm \(M\) trên \((O;r)\) thì \(\Delta SOM\) vuông tại \(O\).

\(SO\) là trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi \(I\) thuộc \(SO\) và cách đều hai điểm \(S, M\).

Vậy \(I\) là giao điểm của \(SO\) với mặt phẳng trung trực của \(SM\).

Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b)

Kẻ đường kính \(SS’\) của mặt cầu ngoại tiếp hình nón \((SS’ > h)\)

\(\Delta MSS'\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MO = r\).

Ta có:

\(\eqalign{
& M{O^2} = OS.OS' \Rightarrow {r^2} = h\left( {SS' - h} \right) \cr 
& \Rightarrow SS' = {{{r^2}} \over h} + h = {{{r^2} + {h^2}} \over h} \cr} \)


Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R = {1 \over 2}SS' = {{{r^2} + {h^2}} \over {2h}}\)

c) Nếu hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy là \(r\) nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\) thì theo câu b) ta có hệ thức \({r^2} = h\left( {2R - h} \right)\).

Vậy \(r = \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} \)

Độ dài đường sinh \(l = SM = \sqrt {SO.SS'}  = \sqrt {2R.h} \)

Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h\left( {2R - h} \right)} .\sqrt {2Rh}  \) \(= \pi h\sqrt {2R\left( {2R - h} \right)} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu
  • Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.

  • Bài 21 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AB = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.

  • Bài 18 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho điểm A nằm trong mặt cầu S. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu S luôn nằm trên một mặt nón xác định.

  • Bài 17 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Trong mỗi trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó. b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài