Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 19 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Đề bài

Cho một tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Người ta dựng một hình chữ nhật \(MNPQ\) có cạnh \(MN\) nằm trên cạnh \(BC\), hai đỉnh \(P\) và \(Q\) theo thứ tự nằm trên hai cạnh \(AC\) và \(AB\) của tam giác. Xác định vị trí của điểm \(M\) sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết

Đặt \(BM = x\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) ta có \(AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\Delta BMQ = \Delta CNP\) \( \Rightarrow BM = NC = x\) \(\Rightarrow MN = a - 2x\)

\(QM//AH\) nên \({{QM} \over {AH}} = {{BM} \over {BH}} \) \(\Rightarrow QM = {{AH.BM} \over {BH}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.x} \over {{a \over 2}}} = x\sqrt 3 \)

Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là

\(S\left( x \right) = MN.QM = \left( {a - 2x} \right).x\sqrt 3  \) \(= \sqrt 3 \left( {ax - 2{x^2}} \right)\)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;{a \over 2}} \right)\)

Ta có : \(S'\left( x \right) = \sqrt 3 \left( {a - 4x} \right)\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {a \over 4}\)

\(S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)

Vậy \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại điểm \(x = {a \over 4}\) và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là: \(\mathop {\max \,\,\,S\left( x \right)}\limits_{x \in \left( {0;{a \over 2}} \right)}  = S\left( {{a \over 4}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store