Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Với mỗi số nguyên dương n

Đề bài

Với mỗi số nguyên dương n, đặt ${u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}$ (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:

+ Chứng minh (1) đúng với $n=1$ .

+ Giả sử (1) đúng với $n=k$ .

+ Chứng minh (1) đúng với $n=k+1$ .

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

+) Với $n = 1$ , ta có:

${u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}}$ $= 7 + 3 = 10\vdots$ $5$

Suy ra (1) đúng khi $n = 1$ .

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k \in \mathbb N^*$ , tức là:

${u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]$ $\vdots$ $5$

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$

Thật vậy, ta có :

$\eqalign{ & {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr & = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr & ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr & = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr}$

Vì $u_k$ $⋮$ $5$ (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra ${u_{k + 1}}$ chia hết cho $5$ ta được điều cần chứng minh.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 10 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng :
Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
chứng minh mệnh đề
Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Hãy chứng minh
Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng
Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng
Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng
Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.