Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), ta luôn có bất đẳng thức sau :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\) ta có \(1 < 2\sqrt 1 \) .

Vậy (1) đúng với \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh : 

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)\)

Theo giả thiết qui nạp ta có :

\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

\(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)

Thật vậy ta có :

\(\eqalign{
& 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr 
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1 \cr 
& \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\)

\(⇔ 0 < 1\) (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng  tức (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài