Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao


Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:

a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ

b. G1 là trọng tâm của tam giác A1B1C1

c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)

    \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Lời giải chi tiết

a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

b. B1C1 cắt II’ tại I1 thì I1 là trung điểm của B1C1

Vì G1 thuộc A1I1 và AA1 // GG1 // II1 nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)

Vậy G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1

c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L1 là giao điểm của LL’ và A1I1

Khi đó L1 là trung điểm của A1G1

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\
\Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\
\Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'
\end{array}\)

Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)

Mặt khác: 2I1I’ = B1B’ + C1C’

Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.