Câu 5 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao


Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA.

Lời giải chi tiết

 

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là hình chiếu của O trên mp(ABC) nên H là trực tâm tam giác ABC. Từ đó HC1 ⊥ AB (C1 là giao điểm của CH và AB), suy ra OC1 ⊥ AB. Như vậy \(\widehat {O{C_1}H}\) là góc giữa mp(OAB) và mp(ABC).

Ta có: \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}\cos \widehat {O{C_1}H}\)

Mà \(\widehat {O{C_1}H} = \widehat {HOC}\) nên \({S_{HAB}} = {S_{OAB}}\cos \widehat {HOC}.\)

Ta lại có : \(\cos \widehat {HOC} = {{OH} \over {OC}},{1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Từ đó : \(\cos \widehat {HOC} = {{ab} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Mặt khác \({S_{OAB}} = {1 \over 2}ab\)

Vậy \({S_{HAB}} = {{{a^2}{b^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)

Tương tự như trên, ta có :

\(\eqalign{  & {S_{HBC}} = {{{b^2}{c^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}  \cr  & {S_{HAC}} = {{{c^2}{a^2}} \over {2\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }} \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài tập ôn tập chương III

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài