Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

 Hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2$ liên tục trên $\mathbb R$

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2$ xác định trên $\mathbb R$.

Với mọi $x_0\in\mathbb R$ ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right)$ $= x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên $\mathbb R$.

Quảng cáo

LG b

Hàm số $f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}$ liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

Lời giải chi tiết:

Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

$1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1$

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x₀ϵ (-1 ; 1), ta có :  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}$ $= {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

LG c

Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}}$ liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2$

Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}}$ xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi ${x_0} \in \left( { - 2;2} \right)$ , ta có:  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2).

Ngoài ra, ta có :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)$ $= \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)$ nên hàm số liên tục phải tại x=-2.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }}$ $= \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)$ nên hàm số liên tục trái tại x=2.

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

LG d

 Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1}$ liên tục trên nửa khoảng  $\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)$

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1}$ xác định trên nửa khoảng  $\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)$

Với ${x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)$ ta có  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1}$ $= \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)$

Nên hàm số liên tục trên khoảng  $\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)$

Mặt khác ta có  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)$

Nên hàm số liên tục phải tại x=1/2.

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng $\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)$

Loigiaihay.com