Câu 4.38 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.38 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Đề bài

Bạn Nam đã giải bất phương trình

\(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\) (1)

Như sau :

Điều kiện :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.\)

Khi đó bất phương trình (1) có dạng

\(\sqrt {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\)

Chia hai vế cho \(\sqrt {{\rm{x}} + 1} > 0,\) ta có

\(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}} \)

Vì x ≥ 1 nên \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,\) do đó \(\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1} \)

Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.

Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ?

Lời giải chi tiết

Nhận thấy rằng \(x = -1\) là nghiệm của bất phương trình (1). Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :

Từ \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)

(thấy ngay \(x = -1\) là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (II)).

Suy luận đúng là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.\)

Loigiaihay.com