

Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.
Đề bài
Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:
f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]
Hay af(x)=a2[(x+b2a)2−Δ4a2]
Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:
f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2)
trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x).
Lời giải chi tiết
Ta có:
f(x)=ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)=a(x2+2.b2a.x+b24a2+ca−b24a2)=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]=a[(x+b2a)2−Δ4a2]⇒af(x)=a2[(x+b2a)2−Δ4a2]
+ Nếu Δ < 0 thì −Δ4a2>0 ⇒a2[(x+b2a)2−Δ4a2]>0 ⇒af(x)>0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R
+ Nếu Δ = 0 thì af(x)=a2(x+b2a)2 khi đó af(x) > 0 với mọi x≠−b2a.
+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và:
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2)
Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2).
Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2)
Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2)
Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2
Loigiaihay.com

