Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

\(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)

Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}]\)

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) hay af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

trong đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\\ = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\
= a\left( {{x^2} + 2.\frac{b}{{2a}}.x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)\\
= a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right]\\
= a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\\
\Rightarrow af\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]
\end{array}\)

+ Nếu Δ < 0 thì \( - \frac{\Delta }{{4{a^2}}} > 0 \) \(\Rightarrow {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] > 0 \) \(\Rightarrow af\left( x \right) > 0\) với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne - {b \over {2a}}\).

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ và:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)

Do đó: af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x₁)(x – x₂).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x₁ < x₂)

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x₁, x₂)