Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng

Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao


Cho khối lăng trụ đểu ABC.A'B'C’ và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'CM) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Đề bài

Cho khối lăng trụ đểu \(ABC.A'B'C’\) và \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Mặt phẳng \((B'C'M)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(B’M\) với \(AA’\); \(N\) là giao điểm của \(IC’\) với \(AC\). Khi đó \(A\) là trung điểm của \(A’I\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Đặt \({S_{ABC}} = S\) và \(AA' = h\)

Thiết diện của mp \((B’C’M)\) với khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) là hình thang cân \(MNC’B’\). Mp \((B’C’M)\) chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh \(AA’\) có thể tích là \({V_1}\), phần còn lại có thể tích là \({V_2}\). Khi đó ta có:

\(\eqalign{
& {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} \cr &= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} \cr & = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I - \frac{1}{3}{S_{AMN}}.AI\cr &= {1 \over 3}S.2h - {1 \over 3}.{S \over 4}h \cr 
& = {2 \over 3}Sh - {1 \over {12}}Sh = {7 \over {12}}Sh \cr &= {7 \over {12}}\left( {{V_1} + {V_2}} \right) \cr 
& \Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2}\Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2}\cr & \Rightarrow {{{V_1}} \over {{V_2}}} = {7 \over 5} \cr} \)

Cách trình bày khác:

Ta có: \(\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC'}} = \frac{{AM}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\)

\({V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}}\) \( = {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}}\)

\({V_{I.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I\) \( = \frac{1}{3}S.2h = \frac{2}{3}Sh = \frac{2}{3}V\)

\(\frac{{{V_{I.AMN}}}}{{{V_{I.A'B'C'}}}} = \frac{{IA}}{{IA'}}.\frac{{IM}}{{IB'}}.\frac{{IN}}{{IC'}}\) \( = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

\( \Rightarrow {V_{I.AMN}} = \frac{1}{8}{V_{I.A'B'C'}}\) \( = \frac{1}{8}.\frac{2}{3}V = \frac{1}{{12}}V\)

\( \Rightarrow {V_1} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{12}}V = \frac{7}{{12}}V\)

\( \Rightarrow {V_2} = V - {V_1}\) \( = V - \frac{7}{{12}}V = \frac{5}{{12}}V\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{12}}V:\frac{5}{{12}}V = \frac{7}{5}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 6 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối chóp S.ABC cố đường cao S/4 bằng a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Chứng minh rằng sc vuông góc với mp(AB'C'). c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’.

  • Bài 4 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối làng trụ đứng ABC.A’B'C’ có diện tích đáy bằng S và AA' = h. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB’, CC'

  • Bài 3 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

    Cho khôi tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện. a) Kể tên bốn khối tứ diện đó. b) Chứng tỏ rằng bốn khôi tứ diện đó có thể tích bằng nhau. c) Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.

  • Bài 2 trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng sáu trung điểm của sáu cạnh AB, BC, CC', C'D’, D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

  • Bài 1 trang 30 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phắng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần đó.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store