Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số (un) xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\)

LG a

Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Dãy số \((v_n)\) là cấp số nhân nếu \(v_{n+1}=q.v_n\) với q là số thực không đổi (công bội).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\displaystyle {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4}\) \(\displaystyle = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}\)

Thay \(\displaystyle {u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\) vào ta được:

\(\displaystyle {v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) - {3 \over 4}  \) \(\displaystyle = \frac{1}{5}{v_n} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}= {1 \over 5}{v_n},\forall n\)

Vậy (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  \(\displaystyle q = {1 \over 5}\)

LG b

 Tìm \(\lim u_n\).

Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát \({v_n} = {v_1}{q^{n - 1}}\) suy ra giới hạn \(\lim v_n\).

Từ đó suy ra \(\lim u_n\).

Lời giải chi tiết:

 Ta có:

\(\eqalign{
& {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr 
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}} \cr 
& \lim {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{n - 1}} = 0\Rightarrow \lim {v_n} = 0\cr &  \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - \frac{{15}}{4}} \right) = 0\cr &\Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.