Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO₁ vuông góc với SC.

Vậy góc giữa hai mp(SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO₁ và DO₁.

Mặt khác OO₁ ⊥ BD, OO₁ < OC (vì OC là cạnh huyền của \(\Delta O{O_1}C\) vuông tại O1) mà OC = OB nên \(\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\)

Tương tự \(\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \) tức \(\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \)

Như vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc \(60^\circ \) khi và chỉ khi:

\(\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \) \( \Leftrightarrow\) \(\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \) (vì ΔBO₁D cân tại O₁)

\( \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ \) \(\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \)

Ta có \(O{O_1} \bot SC\) nên \(\widehat {O{O_1}C} = {90^0}\)

Xét tam giác \(CO{O_1}\) vuông tại \({O_1}\) có:

\(O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}\) \( = OC.{{SA} \over {SC}}\)

Như vậy : \(BO = O{O_1}\sqrt 3 \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \) \(\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\)

Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60˚

Loigiaihay.com

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 13 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Câu 26 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp gì nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90˚); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng
Câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Câu 22 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu Thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không ? Vì sao ?
Câu 21 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?