Tết sale hết! Đồng giá 399K, 499K toàn bộ khoá học tại Tuyensinh247

Duy nhất từ 08-10/01

NHẬN ƯU ĐÃI
Xem chi tiết

Câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao


Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).

b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải chi tiết

Cách khác:

Ta có: BDAC (do ABCD là hình vuông)

BDAA (do AA(ABCD))

BD(ACCA) BDAC

{ADADADABAD(ABCD)

ADAC

Ta có: {BDACADAC AC(ABD)

Lại có, {BD//BDAB//CDBD,AB(ABD)BD,CD(CBD) (ABD)//(CBD)

AC(CBD)

Vậy AC vuông góc với các mặt phẳng (ABD)(CBD).

b) 

Gọi O là trung điểm của AC.

(P) là mặt phẳng trung trực của AC thì (P) đi qua O và vuông góc với AC.

AC//(ABD)AC(CBD) nên (P)//(ABD)//(CBD).

Ta có: {BD(BDDB)BD//(P)O(P)(BDDB) (P)(BDDB)=Ot//BD

Trong (BDDB), qua O kẻ đường thẳng Ot//BD và cắt BB,DD lần lượt tại các điểm S,P.

Tương tự,

{AD(ADDA)AD//(P)P(P)(ADDA) (P)(ADDA)=PQ//AD với QAD.

{BD(ABCD)BD//(P)Q(P)(ABCD) (P)(ABCD)=QR//BD với RAB.

{CD(CDDC)CD//(P)P(P)(CDDC) (P)(CDDC)=PN//CD với NCD.

{BD(ABCD)BD//(P)N(P)(ABCD) (P)(ABCD)=NM//BD với MBC.

Vậy thiết diện là lục giác MNPQRS.

Dễ thấy, O là trung điểm của AC nên cũng là trung điểm của BD.

PS//BD thì P,S lần lượt là trung điểm của DD,BB.

Từ đó các điểm M,N,Q,R lần lượt là trung điểm của BC,CD,DA,AB.

ABCD là hình vuông cạnh a nên BD=AB2+AD2 =a2+a2=a2

MN=12BD=a22

Tương tự MN=NP=PQ =QR=RS=SM=a22.

Do đó, lục giác MNPQRS là lục giác đều.

Xét ΔMON đều cạnh OM=ON=MN=a22 nên có diện tích:

SMON=12OM.ON.sin^MON =12.a22.a22.sin600=a238

Vậy SMNPQRS=6SMON =6.a238=3a234.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 10 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.