Câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’). b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Lời giải chi tiết
Cách khác:
Ta có: BD⊥AC (do ABCD là hình vuông)
BD⊥AA′ (do AA′⊥(ABCD))
⇒BD⊥(ACC′A′) ⇒BD⊥AC′
{A′D⊥AD′A′D⊥AB⇒A′D⊥(ABC′D′)
⇒A′D⊥AC′
Ta có: {BD⊥AC′A′D⊥AC′ ⇒AC′⊥(A′BD)
Lại có, {BD//B′D′A′B//CD′BD,A′B⊂(A′BD)B′D′,CD′⊂(CB′D′) ⇒(A′BD)//(CB′D′)
⇒AC′⊥(CB′D′)
Vậy AC′ vuông góc với các mặt phẳng (A′BD) và (CB′D′).
b)
Gọi O là trung điểm của AC′.
(P) là mặt phẳng trung trực của AC′ thì (P) đi qua O và vuông góc với AC′.
Mà AC′//(A′BD) và AC′⊥(CB′D′) nên (P)//(A′BD)//(CB′D′).
Ta có: {BD⊂(BDD′B′)BD//(P)O∈(P)∩(BDD′B′) ⇒(P)∩(BDD′B′)=Ot//BD
Trong (BDD′B′), qua O kẻ đường thẳng Ot//BD và cắt BB′,DD′ lần lượt tại các điểm S,P.
Tương tự,
{A′D⊂(ADD′A′)A′D//(P)P∈(P)∩(ADD′A′) ⇒(P)∩(ADD′A′)=PQ//A′D với Q∈A′D.
{B′D⊂(A′B′C′D′)B′D//(P)Q∈(P)∩(A′B′C′D′) ⇒(P)∩(A′B′C′D′)=QR//B′D′ với R∈A′B′.
{CD′⊂(CDD′C′)CD′//(P)P∈(P)∩(CDD′C′) ⇒(P)∩(CDD′C′)=PN//CD′ với N∈CD.
{BD⊂(ABCD)BD//(P)N∈(P)∩(ABCD) ⇒(P)∩(ABCD)=NM//BD với M∈BC.
Vậy thiết diện là lục giác MNPQRS.
Dễ thấy, O là trung điểm của AC′ nên cũng là trung điểm của BD′.
⇒PS//BD thì P,S lần lượt là trung điểm của DD′,BB′.
Từ đó các điểm M,N,Q,R lần lượt là trung điểm của BC,CD,D′A′,A′B′.
ABCD là hình vuông cạnh a nên BD=√AB2+AD2 =√a2+a2=a√2
⇒MN=12BD=a√22
Tương tự MN=NP=PQ =QR=RS=SM=a√22.
Do đó, lục giác MNPQRS là lục giác đều.
Xét ΔMON đều cạnh OM=ON=MN=a√22 nên có diện tích:
SMON=12OM.ON.sin^MON =12.a√22.a√22.sin600=a2√38
Vậy SMNPQRS=6SMON =6.a2√38=3a2√34.
Loigiaihay.com
- Câu 24 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
- Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
- Câu 26 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
- Câu 27 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
- Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
>> Xem thêm