Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh : a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :

LG a

Tam giác ABC có ba góc nhọn.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Góc có cô sin dương thì là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0;b;0} \right)\,,\,C\left( {0;0;c} \right)\) \(\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right) \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {a^2} > 0 \) \(\Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0\)

\( \Rightarrow \) A là góc nhọn.

Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.

LG b

\({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)

Lời giải chi tiết:

Mp(ABC) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right)\).
Mp(OBC) \( \equiv \) Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì:

\({\cos ^2}\alpha = {\left( {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\)

Tương tự \({\cos ^2}\beta = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) và \({\cos ^2}\gamma = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\)

Từ đó suy ra \({\cos ^2}\alpha + co{s^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình:
Bài 21 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau : a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng ; b) M cách đều hai mặt phẳng
Bài 20 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
Bài 18 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai mặt phẳng có phương trình là và Với giá trị nào của m thì: a) Hai mặt phẳng đó song song ; b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ; c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ; d) Hai mặt phẳng đó vuông góc?
Bài 17 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:
Bài 16 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:
Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm ; b) Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ; c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với ) và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ; h) Đi