Bài 22 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B’C. Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Đề bài

Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B’C\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AA’\). Mặt phẳng đi qua \(M, B’, C\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Tính thể tích khối chóp C.ABB'M.

- Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.

- Chứng minh \(CH\bot(ABB'M)\).

- Tính thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}Sh\)

+) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

\(V = Bh\)

+) Tính thể tích khối đa diện còn lại và suy ra tỉ số.

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh đáy của lăng trụ là \(a\), độ dài cạnh bên của lăng trụ là \(b\).
Kẻ đường cao \(CH\) của tam giác \(ABC\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot AA'\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'A'} \right)\)

\( \Rightarrow CH \bot \left( {ABB'M} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{C.ABB'M}} = \frac{1}{3}CH.{S_{ABB'M}}\)

+) \(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

+) Diện tích hình thang \(ABB’M\) là: \({S_{ABB'M}} = {1 \over 2}\left( {AM + BB'} \right)AB\) \( = {1 \over 2}\left( {{b \over 2} + b} \right).a = {{3ab} \over 4}\)

Thể tích khối chóp \(C.ABB’M\) là: \({V_{C.ABB'M}} = {1 \over 3}{S_{ABB'M}}.CH \) \(= {1 \over 3}{{3ab} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 8}\)

Lại có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' \) \(= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.b = {{{a^2}b\sqrt 3 } \over 4} \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {V_{CC'ABM}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABB'M}}\\
= \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{4} - \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8} = \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8}\\
\Rightarrow \frac{{{V_{C.ABB'M}}}}{{{V_{CC'ABM}}}} = 1
\end{array}\)

Chú ý: Có thể chứng minh được hai khối chóp \(C.ABB’M\) và \(B’A’C’CM\) có cùng chiều cao và có diện tích đáy bằng nhau nên chúng có thể tích bằng nhau.

Cách khác:

Gọi V, S, h lần lượt là thể tích và diện tích đáy, chiều cao của lăng trụ: V= S.h. V₁,V₂ lần lượt là thể tích phần lăng trụ bên trên, bên dưới thiết diện MB’C

E = CM ∩ C'A', do M là trung điểm của AA’ nên A’E = A’C’

S_ΔEA'B'=S_ΔA'B'C' =S

Ta có:

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 23 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C' khác với S. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C'. Chứng minh rằng:
Bài 24 trang 29 SKG Hình học 12 Nâng cao
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.
Bài 25 trang 29 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ thì
Bài 21 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?
Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều ba điểm A, B, c, cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó. b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB' là một hình chữ nhật. c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
Bài 19 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b. . Đường thẳng BC’ tạo với mp(AA’C’C) một góc . a) Tính độ dài đoạn thẳng AC. b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Bài 18 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
Bài 17 trang 28 Hình học 12 Nâng cao
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D', biết rằng AA'B'D' là khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 16 trang 28 SKG Hình học 12 Nâng cao
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
Bài 15 trang 28 Hình học 12 Nâng cao
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu: a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ; b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ; c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?