Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).

Đề bài

Cho hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) cắt nhau tại hai điểm \(A, B\) và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((P’)\).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) khi \(r = 5, r' = \sqrt {10} \), \(AB = 6\), \({\rm{OO}}' = \sqrt {21} \).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(OM \bot AB\) và \(O'M \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'M} \right)\)

Gọi \(\Delta ,\,\Delta '\) lần lượt là trục của đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) thì \(AB \bot \Delta \,\,,\,\,AB \bot \Delta '\). Do đó \(\Delta ,\,\Delta '\) cùng nằm trong mp \((OO’M)\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) thì \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\) đi qua hai đường tròn \((O; r)\) và \((O’; r’)\) và \(S\) có bán kính \(R = IA\).

b) Ta có: \(MA = MB = 3\,\,,\,\,OA = r = 5,\,\,OA' = r' = \sqrt {10} \)

\(\eqalign{
& OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4 \cr
& O'M = \sqrt {O'{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {10 - 9} = 1 \cr} \)

Áp dụng định lí Cosin trong \(\Delta {\rm{OMO'}}\) ta có:

\(\eqalign{
& OO{'^2} = O{M^2} + O'{M^2} - 2OM.O'M.\cos \widehat {OMO'} \cr
& \Rightarrow 21 = 16 + 1 - 2.4.1.cos\widehat {OMO'} \Rightarrow \cos \widehat {OMO'} = - {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \widehat {OMO'} = {120^0},\,\,\widehat {OIO'} = {60^0} \cr} \)

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \(OMO’\) ta có:

\(\eqalign{
& M{O^2} = MO{'^2} + OO{'^2} - 2MO'.OO'.cos\widehat {MO'O} \cr
& \Rightarrow \cos \widehat {MO'O} = {{\sqrt {21} } \over 7} \Rightarrow \sin \widehat {OO'I} = {{\sqrt {21} } \over 7} \cr} \)

(Vì \(\widehat {MO'O} + \widehat {OO'I} = {90^0}\))

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OIO’\) ta có:
\({{OI} \over {\sin \widehat {OO'I}}} = {{OO'} \over {\sin \widehat {OIO'}}} \Leftrightarrow {{OI} \over {{{\sqrt {21} } \over 7}}} = {{\sqrt {21} } \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} \Leftrightarrow OI = 2\sqrt 3 \)

Vậy \(R = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {25 + 12} = \sqrt {37} \)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

2.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu? b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao
Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 1 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho mp(P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Câu hỏi 2 trang 62 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 2 trang 62 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Câu hỏi 1 trang 62 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 1 trang 62 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Mặt cầu, khối cầu đều có vô số mặt phẳng đối xứng. b) Mọi tứ diện luôn có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.