Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học

Ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Đề bài

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA = SB = SC = a\), \(\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.

- Từ đó suy ra SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)

- Sử dụng tính chất: "Mọi điểm nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì cách đều ba điểm A, B, C" để dựng tâm mặt cầu.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SAB, SAC\) ta có:

\(\eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - {1 \over 2}} \right) = 3{a^2}\cr & \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr} \)

Trong tam giác vuông \(SBC\) có: \(B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \) \(\Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) thì \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì \(SA = SB = SC\) nên \(SH \bot mp\left( {ABC} \right)\)

Và \(S{H^2} = S{C^2} - H{C^2} \) \(= {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}\) \( = {{{a^2}} \over 4} \Rightarrow SH = {a \over 2}\)

Gọi O là điểm đối xứng của S qua H.

Khi đó \(OS = 2SH = 2.\frac{a}{2} = a\).

Tam giác OAH vuông tại \(H\) nên theo Pitago ta có

\(OA = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\)

Lại có SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \(O \in SH\) nên \(OA = OB = OC = a\).

Vậy \(OS = OA = OB = OC = a\) hay \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) và bán kính \(R = a\).

Cách khác:

Ta có: \(HA = HB = HC\), \(SA = SB = SC\) nên \(SH\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\( \Rightarrow \) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC nằm trên \(SH\).

Gọi M là trung điểm của SA.

Trong \(\left( {SAC} \right)\), kẻ đường thẳng \(d\) đi qua M và vuông góc \(SA\) cắt \(SH\) tại \(O\)

(\(d\) là đường trung trực của \(SA\) )

Khi đó:

\(O \in SH \Rightarrow OA = OB = OC\)

\(O \in d \Rightarrow OS = OA\)

\( \Rightarrow \) \(OS = OA = OB = OC\) hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Xét \(\Delta SMO\) và \(\Delta SHA\) có:

\(\widehat S\) chung

\(\widehat {SMO} = \widehat {SHA} = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta SMO \sim \Delta SHA\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow SM.SA = SH.SO\\ \Rightarrow \frac{1}{2}SA.SA = SH.SO\\ \Rightarrow \frac{1}{2}{a^2} = \frac{a}{2}.SO \Rightarrow SO = a\end{array}\)

Vậy bán kính \(R = a\).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.6 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P’).
Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao của tam giác đó. a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu? b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, . Gọi là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.
Bài 6 trang 63 Hình học 12 Nâng cao
Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.
Bài 1 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho mp(P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
Câu hỏi 2 trang 62 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 2 trang 62 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Câu hỏi 1 trang 62 SGK Hình Học 12 nâng cao
Trả lời câu hỏi 1 trang 62 sách giáo khoa Hình Học 12 nâng cao. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? a) Mặt cầu, khối cầu đều có vô số mặt phẳng đối xứng. b) Mọi tứ diện luôn có cạnh bên bằng nhau đều có mặt cầu ngoại tiếp.