Bài 5. Tích của vecto với một số Toán 10 Cánh diều

Giải bài 6 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Cho ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đề bài

Cho ABCD là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b .$ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vecto $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {CG}$ theo hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Quy tắc cộng: $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD}$ với B, A, D bất kì.

Bước 1: Biểu diễn vecto $\overrightarrow {BD}$ theo hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b .$

Bước 2: Biểu diễn vecto $\overrightarrow {BG}$ theo hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ dựa vào đẳng thức $\overrightarrow {BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}$

Bước 3: Biểu thị các vecto $\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {CG}$ theo vecto $\overrightarrow {BG}$ và $\overrightarrow a ,\overrightarrow b .$

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} ;\\\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BG} = - \overrightarrow b + \overrightarrow {BG} ;\end{array}$ (*)

Lại có: $\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b$ .

$\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BD}$ cùng phương và $\left| {\overrightarrow {BG} } \right| = \frac{2}{3}BO = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|$

$\Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$

Do đó (*) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\\\overrightarrow {CG} = -\overrightarrow b + \overrightarrow {BG} = -\overrightarrow b + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b ;\end{array} \right.$

Vậy $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b .$

Cách 2:

Gọi AE, CF là các trung tuyến trong tam giác ABC.

Ta có:

$\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] \\= \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b$

$\overrightarrow {CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CF} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) = \frac{1}{3}\left( { - 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b$

Vậy $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b .$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 7 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn
Lý thuyết Tích của vecto mới một số - SGK Toán 10 Cánh Diều
I. ĐỊNH NGHĨA II. TÍNH CHẤT III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62).
Giải bài 3 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
Giải bài 2 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
Giải bài 1 trang 92 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Giải mục III trang 89, 90 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Ở hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
Giải mục II trang 89, 90 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều
Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh
Giải mục I trang 88, 89 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G.
Lý thuyết Tích của một số với một vecto - SGK Toán 10 Cánh diều
A. Lý thuyết 1. Định nghĩa

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.