Bài 9. Tích của một vectơ với một số - SBT Toán 10 KNTT

Giải bài 4.18 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O. M là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều có trọng tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(G,\,\,J\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(BC\) cắt \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,I\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AC\) cắt \(AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(Q,\,\,H\).

Ta có: \(MG\) // \(AB\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\).

\(MH\) // \(AC\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }\).

\( \Rightarrow \) \(\Delta MHG\) là tam giác đều.

Mặt khác \(MD \bot HG\)

\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(GH\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MH} \) (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(2\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} \), \(2\overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} \) (2)

Ta có: Tứ giác \(AQMJ,\) \(BPMG,\) \(CIMH\) là hình bình hành.

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right) \)

\(= \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MJ} \).

\(\left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MG} } \right)\)

\(= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \)

\(= \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} \)

\(= 3\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)

\(= 3\overrightarrow {MO} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm).