Giải bài 3 trang 86 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều


Đề bài

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau (Hình 54):

-        Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

-        Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy C sao cho AH = HC.

-        Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại E.

Khi đó, E là vị trí của cây cầu.

Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì

MA + MB > EA + EB

Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai. Vì sao?


 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Muốn biết bạn Nam nói đúng hay không, ta chứng minh bất đẳng thức MA + MB > EA + EB là đúng hay sai.

Dựa vào:

-        Tính chất đường trung trực.

-        Trong một tam giác, tổng của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết

Ta có: HA = HC, \(EH \bot AC\). Vậy EH là đường trung trực của AC nên EA = EC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Tương tự ta có: MH là đường trung trực của AC nên MA = MC.

Xét tam giác MBC: \(BC < MB + MC\)(Trong một tam giác, tổng của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Ta có:

\(BC < MB + MC = MB + MA\). (1)

Ba điểm B, E, C thẳng hàng nên \(EB + EC = BC\). (2)

Thay (2) vào (1) ta được: \(\begin{array}{l}BC < MB + MA\\EB + EC < MA + MB\end{array}\)

EA = EC nên \(EA + EB < MA + MB\). Vậy bạn Nam nói đúng và khi đó để tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất thì E là vị trí của cây cầu.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 7 - Cánh diều - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.