Giải bài 1.55 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Rút gọn các biểu thức sau

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau

a) \(\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\);                    

b) \(\frac{{\sin 2\alpha  + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha  + \cos \alpha }}\);

c) \(\frac{{1 + \cos \alpha  - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha  - \sin \alpha }}\);

d) \(\frac{{\sin \alpha  + \sin 3\alpha  + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 5\alpha }}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức cộng, công thức cơ bản, công thức góc nhân đôi, công thức biên đổi tổng thành tích để biến đổi linh hoạt, rút gọn

\(\begin{array}{l}\cos (\alpha  + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta \\\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha .\sin \beta \end{array}\)

\(\frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\); \(\frac{{\cos a}}{{\sin a}} = \cot a\)

\(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\);

\(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \);

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\\ = \frac{{\sin {{45}^0}\cos \alpha  + \cos {{45}^0}\sin \alpha  - (\cos {{45}^0}\cos \alpha  - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}{{\sin {{45}^0}\cos \alpha  + \cos {{45}^0}\sin \alpha  + (\cos {{45}^0}\cos \alpha  - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}\\ = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha  - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha  + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \sin \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2\alpha  + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha .\cos \alpha  + \sin \alpha }}{{1 + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1 + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha  + 1)}}{{2{{\cos }^2}\alpha  + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha .(2\cos \alpha  + 1)}}{{\cos \alpha .(2\cos \alpha  + 1)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

c) Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{1 + \cos \alpha  - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha  - \sin \alpha }}\\ = \frac{{1 + 2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 1 - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}.\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}.\left( {\sin \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{\alpha }{2}} \right)}}\\ =  - \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} =  - \cot \frac{\alpha }{2}.\end{array}\)

d) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \alpha  + \sin 3\alpha  + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha  + \cos 3\alpha  + \cos 5\alpha }}\\ = \frac{{\left( {\sin \alpha  + \sin 5\alpha } \right) + \sin 3\alpha }}{{\left( {\cos \alpha  + \cos 5\alpha } \right) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{2\sin \frac{{\alpha  + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha  - 5\alpha }}{2} + \sin 3\alpha }}{{2\cos \frac{{\alpha  + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha  - 5\alpha  + \cos 3\alpha }}{2}}}\\ = \frac{{2\sin 3\alpha .\cos ( - 2\alpha ) + \sin 3\alpha }}{{2\cos 3\alpha \cos ( - 2\alpha ) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{\sin 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}}{{\cos 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}} = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }} = \tan 3\alpha .\end{array}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí