Giải bài 1.55 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống>
Rút gọn các biểu thức sau
Đề bài
Rút gọn các biểu thức sau
a) \(\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\);
b) \(\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}\);
c) \(\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\);
d) \(\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 5\alpha }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức cộng, công thức cơ bản, công thức góc nhân đôi, công thức biên đổi tổng thành tích để biến đổi linh hoạt, rút gọn
\(\begin{array}{l}\cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha .\sin \beta \\\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta \end{array}\)
\(\frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\); \(\frac{{\cos a}}{{\sin a}} = \cot a\)
\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\);
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \);
\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \cos ({{45}^0} + \alpha )}}{{\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \cos ({{45}^0} + \alpha )}}\\ = \frac{{\sin {{45}^0}\cos \alpha + \cos {{45}^0}\sin \alpha - (\cos {{45}^0}\cos \alpha - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}{{\sin {{45}^0}\cos \alpha + \cos {{45}^0}\sin \alpha + (\cos {{45}^0}\cos \alpha - \sin {{45}^0}\sin \alpha )}}\\ = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt 2 \sin \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha .\cos \alpha + \sin \alpha }}{{1 + 2{{\cos }^2}\alpha - 1 + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)}}{{2{{\cos }^2}\alpha + \cos \alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha .(2\cos \alpha + 1)}}{{\cos \alpha .(2\cos \alpha + 1)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}\\ = \frac{{1 + 2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 1 - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}\\ = \frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}.\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}.\left( {\sin \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{\alpha }{2}} \right)}}\\ = - \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} = - \cot \frac{\alpha }{2}.\end{array}\)
d) Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}\\ = \frac{{\left( {\sin \alpha + \sin 5\alpha } \right) + \sin 3\alpha }}{{\left( {\cos \alpha + \cos 5\alpha } \right) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{2\sin \frac{{\alpha + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha - 5\alpha }}{2} + \sin 3\alpha }}{{2\cos \frac{{\alpha + 5\alpha }}{2}\cos \frac{{\alpha - 5\alpha + \cos 3\alpha }}{2}}}\\ = \frac{{2\sin 3\alpha .\cos ( - 2\alpha ) + \sin 3\alpha }}{{2\cos 3\alpha \cos ( - 2\alpha ) + \cos 3\alpha }}\\ = \frac{{\sin 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}}{{\cos 3\alpha (2\cos ( - 2\alpha ) + 1)}} = \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }} = \tan 3\alpha .\end{array}\)
- Giải bài 1.56 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.57 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.58 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.59 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 1.60 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải bài 43 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 39 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 40 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 41 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 42 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 43 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 42 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 41 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 40 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
- Giải bài 39 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống